Question

【題目】已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．
（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；
（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖①，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC= = =8．
∵AD平分∠CAB，
∴ = ，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2 ，
∴易求BD=CD=5 ；
（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．

∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB= ∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直徑為10，則OB=5，
∴BD=5．
【解析】（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5 ；（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5．