Question

將含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）繞其直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD與BC相交于點(diǎn)M，在AE上取點(diǎn)N，使∠MCN=90°．設(shè)AC=2，△MNC的面積為S_△MNC，△ABC的面積為S_△ABC．
（1）求證：MN∥DE；
（2）以點(diǎn)N為圓心，NC為半徑作⊙N，
①當(dāng)直線AD與⊙N相切時(shí)，試S_△MNC與S_△ABC之間的關(guān)系；
②S_△MNC與S_△ABC之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，試探求直線AD與⊙N的各種位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意推出∠B=∠NCA，通過求證△ABM∽△ACN，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，通過等量代換推出AM：AD=AN：AE，即可得MN∥DE，（2）①當(dāng)直線AD與⊙N相切時(shí)，利用AN=NC，通過求證△ABM∽△ACN，確定出CN，MC的值后，即可推出S_△MNC與S_△ABC之間的關(guān)系；②首先確定若S_△MNC=S_△ABC時(shí)，探求直線AD與⊙N的各種位置，設(shè)BE=x，根據(jù)題意求出x的值，然后討論x取不同值時(shí)直線AD與⊙N的位置關(guān)系．
解答：（1）證明：∵∠MCN=90°，∠BAC=90°，
∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=∠NCA，
∵∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴AM：AB=AN：AC，
∵AB=AD，AE=AC，
∴AM：AD=AN：AE，
∴MN∥DE，

（2）解：①直線AD與⊙N相切時(shí)，則AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴BM：CN=AB：AC，AM：AN=MB：NC，
∴AM=MB，
∵∠BAC=90°，
∵∠B=30°，
∴∠α=30°，∠AMC=60°，
∵AC=2，
∴BC=4，AB=2，
∵BM：CN=AB：AC，
又∵∠ACB=90°-30°=60°，
∴△AMC是等邊三角形，
∴AM=MC=AC=2，
∴MB=2，
∵BM：CN=AB：AC，
∴CN=，
∴S_△MNC==，S_△ABC=AB•AC=2，
∴S_△MNC=S_△ABC，
②若S_△MNC=S_△ABC時(shí)，探求直線AD與⊙N的各種位置，
設(shè)BM=x，
∴S_△MNC=MC•NC=•2，
∵BM：CN=AB：AC，
∴CN=，
∴（4-x）×=
∴解得x=1或x=3．
（i）當(dāng)x=1時(shí)，
在Rt△MNC中，MC=4-x=3，
∴MN²=NC²+MC²，
∴MN=，
∵M(jìn)N∥DE，
∴AN：AE=MN：DE，
∴AN=，
∵CN=
∵＞，即AN＞NC，
∴直線AD與⊙相離．
（ii）當(dāng)x=3時(shí)，
∴NC=3，
在Rt△MNC中，MC=4-3=1，
∴MN=2，
∵M(jìn)N∥DE，
∴AN：AE=MN：DE，
∴AN=1，
∵3＞1，
∴NC＞AN，
∴直線AD與⊙相交．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式，直角三角形的性質(zhì)、圓與直線的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵在于運(yùn)用了分類討論的思想進(jìn)行分析、通過求證相關(guān)三角形相似，推出對(duì)應(yīng)邊成比例，熟練運(yùn)用等量代換、認(rèn)真求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度．