Question

【題目】八年級(1)班同學上數學活動課,利用角尺平分一個角(如圖).設計了如下方案:

(Ⅰ)∠AOB是一個任意角,將角尺的直角頂點P介于射線OA,OB之間,移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M,N重合,即PM=PN,過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.

(Ⅱ)∠AOB是一個任意角,在邊OA,OB上分別取OM=ON,將角尺的直角頂點P介于射線OA,OB之間,移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M,N重合,即PM=PN,過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.

(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,請證明;若不可行,請說明理由.

(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情況下,繼續(xù)移動角尺,同時使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少證明三角形全等的條件；當∠AOB是直角時,此方案可行.

【解析】

（1）方案(Ⅰ)中判定并不能判斷就是的角平分線，關鍵是缺少的條件，只有“邊邊”的條件；

（2）可行.此時和都是直角三角形，可以利用證明它們全等，然后利用全等三角形的性質即可證明為的角平分線.

(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少證明三角形全等的條件.

∵只有OP=OP,PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN;

∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線.

方案(Ⅱ)可行.證明:在△OPM和△OPN中,

∴△OPM≌△OPN(SSS),∴∠AOP=∠BOP.

(2)當∠AOB是直角時,此方案可行.

∵PM⊥OA,PN⊥OB,

∴∠OMP=∠ONP=90°.

∵∠MPN=90°,

∴∠AOB=360°―∠OMP―∠ONP―∠MPN=90°.

∵PM⊥OA,PN⊥OB,且PM=PN,

∴OP為∠AOB的平分線(到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上).

當∠AOB不為直角時,此方案不可行.