Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△DEC，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E．

（1）當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC上時(shí)，如圖1，求∠ADE的大��；

（2）若α＝60°時(shí)，點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，如圖2，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）∠ADE＝15°；（2）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求出∠CAD＝∠CDA＝75°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得BF＝AC，然后根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求出AB＝AC，從而得出 BF＝AB，然后證出△ACD和△BCE為等邊三角形，再利用HL證出△CFD≌△ABC，證出DF＝BE，即可證出結(jié)論．

（1）解：∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△DEC，點(diǎn)E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，

∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°；

（2）證明：如圖2，連接AD

∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，

∴BF＝AF=CF＝AC，

∵∠ACB＝30°，

∴AB＝AC，

∴BF=CF＝AB，

∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到△DEC，

∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC

∴DE＝BF，△ACD和△BCE為等邊三角形，

∴BE＝CB，

∵點(diǎn)F為△ACD的邊AC的中點(diǎn)，

∴DF⊥AC，

在Rt△CFD和Rt△ABC中

∴Rt△CFD≌Rt△ABC，

∴DF＝BC，

∴DF＝BE，

而BF＝DE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．