Question

（本題12分）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=8，CF=6，求OC的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）6.5；（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠2=∠5，∠4=∠6，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠3=∠6，從而可以說(shuō)明∠1=∠2，∠3=∠4，從而得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ECF=90°，根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出CO的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，則AO=CO，EO=FO說(shuō)明四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)∠ECF=90°得出四邊形AECF為矩形.

試題解析：（1）證明：∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，

∴∠2=∠5，4=∠6，∵M(jìn)N∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，F(xiàn)O=CO， ∴OE=OF；

（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=12，CF=5，∴EF==13，

∴OC=EF=6.5；

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定.