Question

如圖1，在平面直角坐標系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射線OC以每秒2個單位長度的速度向右平行移動，當射線OC經(jīng)過點B時停止運動，設平行移動x秒后，射線OC掃過Rt△ABO的面積為y．

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；

（2）當x=3秒時，射線OC平行移動到O′C′，與OA相交于G，如圖2，求經(jīng)過G，O，B三點的拋物線的解析式；

（3）現(xiàn)有一動點P在（2）中的拋物線上，試問點P在運動過程中，是否存在三角形POB的面積S=8的情況？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∵∠yOC=45°，

∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，

∴AO⊥CO，

∵C′O′是CO平移得到，

∴AO⊥C′O′，

∴△OO′G是等腰直角三角形，

∵射線OC的速度是每秒2個單位長度，

∴OO′=2x，

∴y=×（2x）²=2x²；

 

（2）當x=3秒時，OO′=2×3=6，

∵×6=3，

∴點G的坐標為（3，3），

設拋物線解析式為y=ax²+bx，

則，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x；

 

（3）設點P到x軸的距離為h，

則S_△POB=×8h=8，

解得h=2，

當點P在x軸上方時，﹣x²+x=2，

整理得，x²﹣8x+10=0，

解得x₁=4﹣，x₂=4+，

此時，點P的坐標為（4﹣，2）或（4+，2）；

當點P在x軸下方時，﹣x²+x=﹣2，

整理得，x²﹣8x﹣10=0，

解得x₁=4﹣，x₂=4+，

此時，點P的坐標為（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），

綜上所述，點P的坐標為（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）時，△POB的面積S=8．