Question

（2013•海陵區(qū)模擬）已知直線y=-

3

4

x+6與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A．
（1）⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)Q為線段AB上一點(diǎn)，QM⊥OA、QN⊥OB，連結(jié)MN，試求△MON面積的最大值；
（3）在∠OAB內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到射線AO和AB的距離相等，且這個(gè)距離等于點(diǎn)E到x軸的距離的

2

3

？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先判斷出AB是圓P的直徑，P為AB的中點(diǎn)，于是可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q（a，-

3

4

a+6），列出含有a的△MON的面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出其最值；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)E（a，b）（a＞0），點(diǎn)E到x軸的距離b，E到射線AO為a，由題意得出a和b之間的關(guān)系，然后列出a的一元二次方程求出a的值．

解答：解：（1）令x=0，y=6，令y=0，x=8，
∴A（0，6），B（8，0），
∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙P直徑，P為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P（4，3）；

（2）設(shè)點(diǎn)Q（a，-

3

4

a+6），
△MON的面積=

1

2

a(-

3

4

a+6)=-

3

8

(a-4)2+6，
△MON的面積的最大值為6；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)E（a，b）（a＞0），
∵點(diǎn)E到射線AO為a，點(diǎn)E到x軸的距離b，點(diǎn)E到射線AO和AB的距離相等，且這個(gè)距離等于點(diǎn)E到x軸的距離的

2

3

，
∴a=

2

3

|b|，
∴點(diǎn)E（a，

3

2

a），
∵點(diǎn)E到直線AB的距離為

1

5

|9a-24|，
∵點(diǎn)E到射線AO為a，
∴

1

5

|9a-24|=a，
解得a=

12

7

或b=6
當(dāng)a=

12

7

時(shí)，b=

18

7

，
當(dāng)a=6時(shí)，b=-9，
綜上E（

12

7

，

18

7

)或（6，-9）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)最值得求法以及點(diǎn)到直線距離的求解，此題難度比較大．