Question

已知關(guān)于x的方程x²+3x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3，且關(guān)于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有實(shí)根，且k為正整數(shù)，正方形ABP₁P₂的頂點(diǎn)P₁、P₂在反比例函數(shù)y=

1+k

x

（x＞0）圖象上，頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，求點(diǎn)P₂的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：設(shè)方程x²+3x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m與n，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出m+n與mn，根據(jù)m與n的倒數(shù)和為3列出關(guān)系式，通分后利用同分母分式的加法法則計(jì)算后，將表示出的m+n及mn代入，可得出a的值，將a的值代入關(guān)于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0，根據(jù)此方程有解，得到根的判別式大于等于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，根據(jù)k為正整數(shù)得到k的值，確定出反比例函數(shù)y=

1+k

x

的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)解析式設(shè)出P₁的坐標(biāo)，過(guò)P₁作P₁M垂直于y軸于M，過(guò)P₂作P₂N垂直于x軸于N，由正方形的性質(zhì)及AAS可得出三個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出三組邊相等，表示出ON與P₂N，即表示出P₂的坐標(biāo)，將P₂的坐標(biāo)代入反比例解析式中得到關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出此時(shí)P₂的坐標(biāo)．

解答：解：∵關(guān)于x的方程x²+3x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3，設(shè)方程的兩根分別為m與n，
∴b²-4ac=9-4a≥0，即a≤

9

4

，m+n=-3，mn=a，
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

-3

a

=3，即a=-1，
當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，方程的解為x=

2a

3

=-

2

3

；
當(dāng)k-1≠0，即k≠1時(shí)，關(guān)于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0有實(shí)根，
則b²-4ac=9-4（k-1）•（-2a）=9-8（k-1）≥0，即k≤

17

8

，
由k為正整數(shù)，得到k=2，
∴反比例解析式為y=

2

x

或y=

3

x

，
過(guò)點(diǎn)P₁作P₁M⊥y軸，過(guò)P₂，作P₂N⊥x軸，如圖所示：

∵ABP₁P₂是正方形，
∴AB=AP₂=BP₁，∠BAP₂=∠ABP₁=90°，
∴∠BAO+∠P₂AN=90°，又∠AP₂N+∠P₂AN=90°，
∴∠BAO=∠AP₂N，
在△ABO和△P₂AN中，
∵

∠BAO=∠AP2N ∠BOA=∠ANP2=90° AB=P2A

，
∴△ABO≌△P₂AN（AAS），
同理△ABO≌△P₁BM≌△P₂AN，
當(dāng)反比例解析式y(tǒng)=

2

x

時(shí)，設(shè)P₁坐標(biāo)為（a，

2

a

）（a＞0），
∴MP₁=OB=AN=a，MB=OA=NP₂=

2

a

-a，
∴ON=OA+AN=

2

a

-a+a=

2

a

，又NP₂=

2

a

-a，
∴P₂的坐標(biāo)為（

2

a

，

2

a

-a），
代入反比例解析式y(tǒng)=

2

x

得：

2

a

（

2

a

-a）=2，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴P₂的坐標(biāo)為（2，1）；
當(dāng)反比例解析式y(tǒng)=

3

x

時(shí)，設(shè)P₁坐標(biāo)為（a，

3

a

）（a＞0），
∴MP₁=OB=AN=a，MB=OA=NP₂=

3

a

-a，
∴ON=OA+AN=

3

a

-a+a=

3

a

，又NP₂=

3

a

-a，
∴P₂的坐標(biāo)為（

3

a

，

3

a

-a），
代入反比例解析式y(tǒng)=

3

x

得：

3

a

（

3

a

-a）=3，
解得：a=

6

2

或a=-

6

2

（舍去），
∴P₂的坐標(biāo)為（

6

，

6

2

），
綜上，P₂的坐標(biāo)為（2，1）或（

6

，

6

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程解的判斷方法，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合性題．