Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），其中x₁，x₂是方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)M是線段AB上的一個動點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，連接CM，在M點(diǎn)運(yùn)動時，△CMN的面積是否存在最大值？若存在，求出△CMN面積最大時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過解方程能求出兩根，再根據(jù)題干給出的大小關(guān)系確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定該函數(shù)的解析式．
（3）首先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后表示出AM的長；已知MN∥BC，利用相似三角形△AMN、△ABC求出△AMN的面積表達(dá)式；以AM為底、OC為高易得△ACM的面積，△ACM、△AMN的面積差即為△MNC的面積，再根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)來判斷△MNC是否具有最大面積．

解答：解：（1）∵x²-4x-12=0，
∴x₁=-2，x₂=6．
即：A（-2，0），B（6，0）．

（2）∵拋物線過點(diǎn)A、B、C，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得：
-4=a（0+2）（0-6），
解得a=

1

3

．
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

4

3

x-4．

（3）存在．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
∴AB=8，AM=m+2．
∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴

NH

CO

=

AM

AB

，∴

NH

4

=

m+2

8

，
∴NH=

m+2

2

∴S_△CMN
=S_△ACM-S_△AMN
=

1

2

•AM•CO-

1

2

•AM•NH
=

1

2

（m+2）（4-

m+2

2

）
=-

1

4

m²+m+3
=-

1

4

（m-2）²+4．
∴當(dāng)m=2時，S_△CMN有最大值4．
此時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)有：利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法、圖形面積的解法、相似三角形的性質(zhì)等；在求解圖形面積問題時，通�？梢韵日页雠c所求相關(guān)的規(guī)則圖形，然后利用圖形面積間的和差關(guān)系來找出突破口．