Question

【題目】（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖①，已知：在△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線(xiàn)L，CE⊥直線(xiàn)L，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：①△ABD≌△CAE；②DE=BD+CE。

（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)L上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)同角的余角相等，可推出∠ACE=∠BAD，然后用角角邊證明△ABD≌△CAE，再用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=AE，AD=CE，從而得到DE=BD+CE；

（2）利用三角形外角性質(zhì)可證得∠ABD=∠CAE，然后用角角邊證明△ABD≌△CAE，同理可證明DE=BD+CE.

證明：（1）∵BD⊥直線(xiàn)L，CE⊥直線(xiàn)L，

∴∠ADB=∠CEA=90°

∴∠ACE+∠EAC=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠EAC=90°，

∴∠ACE=∠BAD

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∴DE= AE+AD=BD+CE

（2）成立，理由如下：

∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠ABD+∠BDA，∠BDA=∠BAC=α

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∴DE= AE+AD=BD+CE