Question

【題目】如圖①，已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長(zhǎng)方形OABC．

（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

（2）將△ABC對(duì)折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線CD的解析式（圖②）；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) （1）A（2，0）；C（0，4）;(2) 直線CD解析式為y=-x+4．（3）P1（0，0）；P2(，)；P3(-，)．

【解析】

試題分析：（1）已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，即可求得A和C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意可知△ACD是等腰三角形，算出AD長(zhǎng)即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，最后即可求出CD的解析式；

（3）將點(diǎn)P在不同象限進(jìn)行分類，根據(jù)全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）A（2，0）；C（0，4）

（2）由折疊知：CD=AD．設(shè)AD=x，則CD=x，BD=4-x，

根據(jù)題意得：（4-x）2+22=x2解得：x=

此時(shí)，AD=，D(2，)

設(shè)直線CD為y=kx+4，把D(2，)代入得=2k+4

解得：k=-

∴該直線CD解析式為y=-x+4．

（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，△APC≌△CBA，此時(shí)P（0，0）

②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖，

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，

則點(diǎn)P在直線CD上．過(guò)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，

在Rt△ADP中，

AD=，PD=BD=4-=，AP=BC=2

由AD×PQ=DP×AP得：PQ=3

∴PQ=

∴xP=2+=，

把x=代入y=-x+4得y=

此時(shí)P(，)

（也可通過(guò)Rt△APQ勾股定理求AQ長(zhǎng)得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)）

③當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，如圖

同理可求得：CQ=

∴OQ=4-=

此時(shí)P(-，)

綜合得，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，

分別為：P1（0，0）；P2(，)；P3(-，)．