Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點(diǎn)E為CB邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作AE的垂線交BD于點(diǎn)M,連接ME、MC.

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明；

（2）連接FB，判斷FB 、FM之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

Answer 1

【答案】（1）=（2）

【解析】

（1）①按照題中要求補(bǔ)全圖形即可；②如圖1，連接AM，由已知條件易得MF是AE的垂直平分線，由此可得MA=ME，由四邊形ABCD是正方形易得點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，由此可得MA=MC，從而可得ME=MC，進(jìn)而可得∠MEC=∠MCE；

（2）如圖2，由已知易得∠MAD=∠MCD結(jié)合∠MEC=∠MCE可得∠MAD+∠MEC=∠MCD+∠MCE=90°，由AD∥CB可得∠MAD+∠MEC+∠MAE+∠MEA=180°，由此可得∠MAE+∠MEA=90°，從而可得∠AME=90°，結(jié)合點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)可得MF=AE，結(jié)合在Rt△ABE中，BF=AE即可得到BF=MF.

（1）①按題要求補(bǔ)全圖形如下圖所示：

②∠MEC=∠MCE，理由如下：

如圖1，連接AM，

∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，FM⊥AE，

∴MA=ME，

∵點(diǎn)A、點(diǎn)C是關(guān)于正方形ABCD對(duì)角線BD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，

∴MA=MC，

∴ME=MC，

∴∠MEC=∠MCE；

（2）如圖2，F(xiàn)B=FM，理由如下：

∵點(diǎn)M在正方形ABCD的對(duì)角線BD，

∴，

∴=，

∵=，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴，

∴，

∵ 點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，

∴

∵ 在△ABE中，∠ABE=90°，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，

∴ ，

∴ .