Question

【題目】問題探究：

（1）如圖①，邊長為4的等邊△OAB位于平面直角坐標(biāo)系中，將△OAB折疊，使點(diǎn)B落在OA的中點(diǎn)處，則折痕長為　　；

（2）如圖②，矩形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中，其中OA=8，AB=6，將矩形沿線段MN折疊，點(diǎn)B落在x軸上，其中AN=AB，求折痕MN的長；

問題解決：

（3）如圖③，四邊形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中，其中OA=AB=6，CB=4，BC∥OA，AB⊥OA于點(diǎn)A，點(diǎn)Q（4，3）為四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，將四邊形折疊，使點(diǎn)B落在x軸上，問是否存在過點(diǎn)Q的折痕，若存在，求出折痕長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；

（2）MN的長為．

（3）折痕的長為5或．

【解析】（1）如圖1中，B的對稱點(diǎn)B/，折痕為MN，MN交BB/于H. 只要證明折痕是△ABC的中位線即可.

（2）如圖2中，B的對稱點(diǎn)B/，折痕為MN，MN交BB/于H，求出直線MN的解析式即可解決問題.

（3）存在. 如圖3中，延長BQ交OA于B//，連接AQ，過點(diǎn)作Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N，可以證明線段MN計(jì)算折痕；作BB//的垂直平分線PF，交OC于P，交AB于F，此時(shí)B、B//關(guān)于直線PF對稱，線段PF也是折痕，分別求出MN、PF即可解決問題.

解：（1）如圖1中，B的對稱點(diǎn)B′，

折痕為MN，MN交BB′于H．

∵△ABC是等邊三角形，OB′=B′A，∴BB′⊥OA，又∵BB′⊥MN，

∴MN∥OA，∵BH=HB′，∴BM=OM，BN=NA，

∴MN是△ABC的中位線，∴MN=OA=2．故答案為2．

（2）如圖2中，B的對稱點(diǎn)B′，折痕為MN，MN交BB′于H

∵AN=AB=2，∴NB=NB′=4，

在Rt△ANB′中，AB′==2，∴OB′=8﹣2，

∴點(diǎn)B′（8﹣2，0），∵B（8，6），

∴BB′中點(diǎn)H（8﹣，3），∵點(diǎn)N坐標(biāo)（8，2），

設(shè)直線NH解析式為y=kx+b，則有解得，

∴直線NH解析式為y=﹣x+2+，∴點(diǎn)M坐標(biāo)（0，2+），

∴MN==．

（3）存在．理由：如圖3中，延長BQ交OA于B″，連接AQ，過點(diǎn)Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N．

∵Q（4，3），∴N（6，3），∴BN=AN．QB=QB″，

作BB″的垂直平分線PF，交OC于P，交AB于F，此時(shí)B、B″關(guān)于直線PF對稱，滿足條件，

在Rt△ABB″中，∵∠BAB″=90°，BQ=QB″，∴AQ=QB，

∴此時(shí)B、A（B′）關(guān)于直線MN對稱，滿足條件．∵C（2，6），

∴直線OC解析式為y=3x，∵NM∥OA，BN=NA，∴CM=OM，∴點(diǎn)M（1，3），

∴MN=5，∵B（6，6），B″（2，0），∴可得直線BB″的解析式為y=x﹣3，

∴過點(diǎn)Q垂直BB″的直線PF的解析式為y=﹣x+，

由解得，∴點(diǎn)P（，），F(xiàn)（6，），

∴PF==，綜上所述，折痕的長為5或．

“點(diǎn)睛”本題考查四邊形綜合題、一次函數(shù)、勾股定理、線段垂直平分線性質(zhì)，兩條直線垂直k的乘積為-1等知識，解題的關(guān)鍵是靈活待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用解方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考壓軸題.