Question

【題目】（本題滿分12分）已知二次函數(shù)的圖象如圖.

（1）求它的對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）將該拋物線沿它的對(duì)稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與軸，軸的交點(diǎn)分別為A、B、C三點(diǎn)，若∠ACB=90°，求此時(shí)拋物線的解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（本題滿分12分）

解: （1）由得…………1分

∴Ｄ（３，０）…………2分

（2）方法一:

如圖1, 設(shè)平移后的拋物線的解析式為

…………3分

則COC=

令即

得 …………4分

∴A，B

∴………5分

……………………6分

∵

即:

得 (舍去) ……………7分

∴拋物線的解析式為……………8分

方法二:

∵∴頂點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)拋物線向上平移h個(gè)單位,則得到,頂點(diǎn)坐標(biāo)…………3分

∴平移后的拋物線:……………………4分

當(dāng)時(shí),, 得

∴AB……………………5分

∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB

∴OA·OB……………………6分

得,…………7分

∴平移后的拋物線:…………8分

（3）方法一:

如圖2,由拋物線的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M…………9分

過(guò)C、M作直線，連結(jié)CD，過(guò)M作MH垂直y軸于H,

則

∴

在Rt△COD中,CD==AD

∴點(diǎn)C在⊙D上 …………………10分

∵

……11分

∴

∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM

∴直線CM與⊙D相切 …………12分

方法二:

如圖3,由拋物線的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M…………9分

作直線CM,過(guò)D作DE⊥CM于E, 過(guò)M作MH垂直y軸于H,則,, 由勾股定理得

∵DM∥OC

∴∠MCH=∠EMD

∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分

∴得…………11分

由(2)知∴⊙D的半徑為5

∴直線CM與⊙D相切 …………12分

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式求出x=﹣，求出即可；

（2）假設(shè)出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理求出即可；

（3）由拋物線的解析式可得，A，B，C，M各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可證明．