Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值；

（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點D，y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+．（2）3，（3）點Q的坐標為（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）拋物線的解析式可以變天為y=(x+1)(x-3),從而可得到點A和點B的坐標，然后再求得點E的坐標，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入，求得k和b的值，從而得到AE的解析式；

（2）設(shè)直線CE的解析式為y=mx-,將點E的坐標代入求得ｍ的值，從而得到直線CE的解析式，過點P作PF∥y軸，交CE于點F，設(shè)點P的坐標為（x，x2﹣x﹣），則點F（x，x-），則FP＝﹣x２＋．由三角形的面積公式得：ΔEPC的面積=-x2+x，利用二次函數(shù)的媒體人富士康得x的值，從而求得點P的坐標，作點K關(guān)于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP于N、M，然后利用軸對稱的性質(zhì)可得到點G和H的坐標，當點O、N、M、H在一條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH。

（3）由平移后的拋物線經(jīng)過點D，可得到點F的坐標，利用中點坐標公式可求得點G的坐標，然后分為QG=FG、QG=QF、FQ=FQ三種情況求解即可.

試題解析：（1）∵y=x2﹣x﹣，

∴y=（x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

當x=4時，y=．

∴E（4，）．

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入得：

，

解得：k=，b=．

∴直線AE的解析式為y=x+．

（2）設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣，將點E的坐標代入得：4m﹣=，解得：m=．

∴直線CE的解析式為y=x﹣．

過點P作PF∥y軸，交CE與點F．

設(shè)點P的坐標為（x，x2﹣x﹣），則點F（x，x﹣），

則FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．

∴△EPC的面積=×（x2+x）×4=﹣x2+x．

∴當x=2時，△EPC的面積最大．

∴P（2，﹣）．

如圖2所示：作點K關(guān)于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．

∵K是CB的中點，

∴k（，﹣）．

∵點H與點K關(guān)于CP對稱，

∴點H的坐標為（，﹣）．

∵點G與點K關(guān)于CD對稱，

∴點G（0，0）．

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．

當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．

∴GH==3．

∴KM+MN+NK的最小值為3．

（3）如圖3所示：

∵y′經(jīng)過點D，y′的頂點為點F，

∴點F（3，﹣）．

∵點G為CE的中點，

∴G（2，）．

∴FG=．

∴當FG=FQ時，點Q（3，），Q′（3，）．

當GF=GQ時，點F與點Q″關(guān)于y=對稱，

∴點Q″（3，2）．

當QG=QF時，設(shè)點Q1的坐標為（3，a）．

由兩點間的距離公式可知：a+=，解得：a=﹣．

∴點Q1的坐標為（3，﹣）．

綜上所述，點Q的坐標為（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．