Question

【題目】已知，點M為二次函數(shù)y＝﹣（x﹣b）2+4b+1圖象的頂點，直線y＝mx+5分別交x軸正半軸，y軸于點A，B．

（1）判斷頂點M是否在直線y＝4x+1上，并說明理由．

（2）如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根據(jù)圖象，寫出x的取值范圍．

（3）如圖2，點A坐標(biāo)為（5，0），點M在△AOB內(nèi)，若點C（，y1），D（，y2）都在二次函數(shù)圖象上，試比較y1與y2的大小．

Answer 1

【答案】（1）點M在直線y＝4x+1上；理由見解析；（2）x的取值范圍是x＜0或x＞5；（3）①當(dāng)0＜b＜時，y1＞y2，②當(dāng)b＝時，y1＝y2，③當(dāng)＜b＜時，y1＜y2．

【解析】

（1）根據(jù)頂點式解析式，可得頂點坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式檢驗，可得答案；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系：圖象在下方的函數(shù)值小，可得答案；

（3）根據(jù)解方程組，可得頂點M的縱坐標(biāo)的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

（1）點M為二次函數(shù)y＝﹣（x﹣b）2+4b+1圖象的頂點，

∴M的坐標(biāo)是（b，4b+1），

把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，

∴點M在直線y＝4x+1上；

（2）如圖1，

直線y＝mx+5交y軸于點B，

∴B點坐標(biāo)為（0，5）又B在拋物線上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

二次函數(shù)的解析是為y＝﹣（x﹣2）2+9，

當(dāng)y＝0時，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0）．

由圖象，得

當(dāng)mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1時，x的取值范圍是x＜0或x＞5；

（3）如圖2，

∵直線y＝4x+1與直線AB交于點E，與y軸交于F，

A（5，0），B（0，5）得

直線AB的解析式為y＝﹣x+5，

聯(lián)立EF，AB得方程組，

解得，

∴點E（，），F（0，1）．

點M在△AOB內(nèi)，

1＜4b+1＜，

∴0＜b＜．

當(dāng)點C，D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，b﹣＝﹣b，∴b＝，

且二次函數(shù)圖象開口向下，頂點M在直線y＝4x+1上，

綜上：①當(dāng)0＜b＜時，y1＞y2，

②當(dāng)b＝時，y1＝y2，

③當(dāng)＜b＜時，y1＜y2．