Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．

（1）請(qǐng)直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系 ；

（2）將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE，請(qǐng)判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷（2）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過(guò)程；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)AF=AE；（2）AF=AE，證明詳見(jiàn)解析；（3）結(jié)論不變，AF=AE，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=AE，只要證明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如圖②中，結(jié)論：AF=AE，連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=AE，連接EF，延長(zhǎng)FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA，再證明△AEF是等腰直角三角形即可．

試題解析：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=AE．

理由：∵四邊形ABFD是平行四邊形，

∴AB=DF，

∵AB=AC，

∴AC=DF，

∵DE=EC，

∴AE=EF，

∵∠DEC=∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=AE．

（2）如圖②中，結(jié)論：AF=AE．

理由：連接EF，DF交BC于K．

∵四邊形ABFD是平行四邊形，

∴AB∥DF，

∴∠DKE=∠ABC=45°，

∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，

∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，

∴∠EKF=∠ADE，

∵∠DKC=∠C，

∴DK=DC，

∵DF=AB=AC，

∴KF=AD，

在△EKF和△EDA中，

，

∴△EKF≌△EDA，

∴EF=EA，∠KEF=∠AED，

∴∠FEA=∠BED=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=AE．

（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=AE．

理由：連接EF，延長(zhǎng)FD交AC于K．

∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，

∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，

∴∠EDF=∠ACE，

∵DF=AB，AB=AC，

∴DF=AC

在△EDF和△ECA中，

，

∴△EDF≌△ECA，

∴EF=EA，∠FED=∠AEC，

∴∠FEA=∠DEC=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=AE．