Question

已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A，B（點A，B在原點O兩側），與y軸相交于點C，且點A，C在一次函數(shù)y=3x+n的圖象上，線段AB長為12，線段OC長為6，當y₁隨著x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)OC的長求出n的值為6或-6，然后分①n=6時，求出A的坐標，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點B的坐標，求出拋物線的對稱軸，然后根據(jù)拋物線的對稱性寫出x的取值范圍；②n=-6時，求出A的坐標，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點B的坐標，求出拋物線的對稱軸，然后根據(jù)拋物線的對稱性寫出x的取值范圍．

解答：解：∵OC=6，
∴一次函數(shù)y=3x+n的n的值為6或-6，
①n=6時，易得A（-2，0），
如圖1，∵拋物線經(jīng)過點A、C，且與x軸交點A、B在原點的兩側，
∴拋物線開口向下，則a＜0，
∵AB=12，且A（-2，0），
∴B（10，0），而A、B關于對稱軸對稱，
∴對稱軸為直線x=

-2+10

2

=4，
∴要使y₁隨著x的增大而增大，自變量x的取值范圍是x＜4；
②n=-6時，易得A（2，0），
如圖1，∵拋物線經(jīng)過點A、C，且與x軸交點A、B在原點的兩側，
∴拋物線開口向下，則a＞0，
∵AB=12，且A（2，0），
∴B（-10，0），而A、B關于對稱軸對稱，
∴對稱軸為直線x=

-10+2

2

=-4，
∴要使y₁隨著x的增大而增大，自變量x的取值范圍是x＞-4．
綜上所述，自變量x的取值范圍是x＜4或x＞-4．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，難點在于要分情況討論．