Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

分析 求出求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，畫出圖形即可解決問題．

解答 解：存在．理由如下，
對(duì)于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，令y=0得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-1或4；令x=0，得y=2，
∴B（-1.0），A（4，0），C（0，2）．對(duì)稱軸x=$\frac{3}{2}$．
如圖所示，

①當(dāng)以AC為邊時(shí)，易知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{11}{2}$或-$\frac{5}{2}$，此時(shí)M₁（$\frac{11}{2}$，-$\frac{39}{8}$），M₂（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{39}{8}$）．
②當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，易知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$，此時(shí)M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{8}$），
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{11}{2}$，-$\frac{39}{8}$）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{39}{8}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{8}$）時(shí)，存在以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．