Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G分別是AB、CD、DA上的動點，且AE=BF=CG=DH.
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）判斷直線EG是否經(jīng)過某一定點，說明理由；
（3）求四邊形EFGH面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

AB=DA，

∵AE= DH，

∴BE= AH，

∴△AEH≌△BFE，

∴EH=FE，∠AHE=∠BEF，

同理：FE=GF=HG，

∴EH= FE=GF=HG，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵∠A=90°，

∴∠AHE＋∠AEH=90°，

∴∠BEF＋∠AEH=90°，

∴∠FEH=90°，

∴菱形EFGH是正方形；

（2）

解：直線EG經(jīng)過正方形ABCD的中心，

理由如下：連接BD交EG于點O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AB=DC

∴∠EBD=∠GDB，

∵AE= CG，

∴BE= DG，

∵∠EOB=∠GOD，

∴△EOB≌△GOD，

∴BO=DO，即點O為BD的中點，

∴直線EG經(jīng)過正方形ABCD的中心；

（3）

解：設(shè)AE= DH=x，

則AH=8－x，

在Rt△AEH中，EH2=AE2＋AH2=x2＋(8－x)2= 2x2－16x＋64=2(x－4)2＋32，

∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm.

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結(jié)論；（2）連接AC、EG，交點為O；先證明△AOE≌△COG，得出OA=OC，證出O為對角線AC、BD的交點，即O為正方形的中心；（3）設(shè)四邊形EFGH面積為S，BE=xcm，則BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，S是x的二次函數(shù)，容易得出四邊形EFGH面積的最小值．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．