Question

8．五只猴子發(fā)現(xiàn)了一堆桃子，為了瓜分爭(zhēng)執(zhí)了半天未能達(dá)成協(xié)議都累得睡著了．不久，第一只猴子醒了，它將桃子分成一色五份，恰剩下一個(gè)桃子，它享受了余下的這個(gè)桃子并藏好了一份又睡去了會(huì)兒．第二只猴子醒了，它把剩余的桃子重新分成一色五份，又剩下一個(gè)桃子，它吃掉余下的這個(gè)桃子藏好一份睡去了，接著，第三只，第四只，第五只猴子都照此相繼進(jìn)行，天亮了，五只猴子都醒了，它們發(fā)現(xiàn)少了的桃子但又心照不宣，為了表示公平，它們把剩余的桃子又平分成五份，說也奇怪，又恰剩下一個(gè)桃子，請(qǐng)你算一下，原來發(fā)現(xiàn)的桃子至少有幾個(gè)？

Answer 1

分析 設(shè)原來有x個(gè)桃子，因?yàn)榈谝恢缓镒映�海里扔了一個(gè)，正好可以分成5堆，所以我們借給猴子4個(gè)桃子，那么正好可以分成5堆，第一個(gè)猴子就拿了其中一份（包括它吃掉的一個(gè)），但是，它并沒有多得桃子，就是（x+4）×$\frac{1}{5}$=（x-1）×$\frac{1}{5}$+1，同理，第三，第四和第五；最后，剩下的桃子是（x+4）×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$=（x+4）×（$\frac{4}{5}$）⁵，這應(yīng)該是個(gè)整數(shù)，進(jìn)而得出（x+4）一定要能被5⁵=3125整除，求出即可．

解答 解：設(shè)原來有x個(gè)桃子，因?yàn)榈谝恢缓镒映�海里扔了一個(gè)，恰好可以分成5份，
所以我們借給猴子4個(gè)桃子，那么正好可以分成5堆，第一個(gè)猴子就拿了其中一份（包括它吃掉的一個(gè)），
但是，它并沒有多得桃子，就是（x+4）×$\frac{1}{5}$=（x-1）×$\frac{1}{5}$+1，
因?yàn)樗鼪]有多得，所以剩下的桃子比原來剩下的多4個(gè)．
那么剩下的桃子同理也恰好可以分成5份，第二只猴子又拿走了一份（同樣，包括它吃掉的一個(gè)），
同理，第三，第四和第五；
最后，剩下的桃子是（x+4）×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$=（x+4）×（$\frac{4}{5}$）⁵，
這應(yīng)該是個(gè)整數(shù)，
所以，（x+4）一定要能被5⁵=3125整除，
所以x+4最小是3125，此時(shí)，x為3121，
即：原來發(fā)現(xiàn)的桃子至少有3121個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 此題是應(yīng)用類問題應(yīng)用，屬于逆向推理問題，考查學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)推斷一些簡(jiǎn)單的邏輯問題的能力，整除問題；審清題意，列出代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．