Question

【題目】若點A（3，3 ）是正比例函數(shù)y=x上一點，點M（m，0）與點N（0，n）分別在x軸與y軸上，且∠MAN=90°．

（1）如圖1，當(dāng)N點與原點O重合，求M點的坐標(biāo)；

（2）如圖2，已知m，n都為正數(shù)，連接MN，若MN=，求△MON的面積．

Answer 1

【答案】（1）M（6，0）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）過點A作AD⊥x軸于D，由點A的坐標(biāo)即可得出AD=OD=3，進而得出∠AOD=∠OAD=45°，再通過角的計算得出∠AMO=45°，從而得出AO=AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出OM=2OD，由此即可得出點M的坐標(biāo)；

（2）過點A作AQ⊥x軸于Q，作AP⊥y軸于P，由點A的坐標(biāo)結(jié)合矩形的性質(zhì)即可得出四邊形APOQ是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出AP=AQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理（ASA）即可證出△APN≌△AQM，從而得出PN=QM，通過邊與邊之間的關(guān)系結(jié)合勾股定理即可得出mn的值，將其代入三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)N點與原點O重合時，過點A作AD⊥x軸于D，如圖3所示．

∵A（3，3），∴AD=OD=3，∴∠AOD=∠OAD=45°．

又∵∠MAN=90°，∴∠AMO=90°﹣45°=45°，∴AO=AM，∴OM=2OD=6，∴M點坐標(biāo)為（6，0）．

（2）過點A作AQ⊥x軸于Q，作AP⊥y軸于P，如圖4所示．

則∠APO=∠AQO=90°，又∵∠POQ=90°，∴四邊形APOQ是矩形，∵A（3，3），∴OP=OQ=3，∴四邊形APOQ是正方形，∴AP=AQ．

∵∠PAN+∠NAQ=90°，∠QAM+∠NAQ=90°，∴∠PAN=∠QAM．

在△APN和△AQM中，∵∠APN=∠AQM=90°，AP=AQ，∠PAN=∠QAM，∴△APN≌△AQM（ASA），∴PN=QM．

∵M （m，0），N （0，n），∴ON=n，OM=m，∴PN=3﹣n，QM=m﹣3，∴3﹣n=m﹣3，即m+n=6．

在Rt△MON中，OM2+ON2=MN2，∴，即m2+n2=30．

∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴62=30+2mn，即mn=3，∴==．