Question

（2012•江西模擬）如圖，等腰直角△DFE的直角邊DF在等腰直角△ABC的斜邊AC上．AB=6cm．當點A與點D兩點重合時，讓△DEF沿△ABC的斜邊AC從點A向點C平移，當點F與點C重合時停止．設在平移過程中AD=xcm，點E到直線BC的距離EH為ycm．
（1）求y與x的函數(shù)關系式；
（2）當△DEF沿AC平移到使FC=

2

cm時，點E到直線BC的距離為3cm，求△DEF的直角邊長．

Answer 1

分析：（1）分①點A與點D重合時，四邊形ABHE是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EH=AB，②點A、D不重合時，延長ED交AB于M，利用∠A的余弦值表示出AM，再用AB-AM即可得解；
（2）根據(jù)（1）中結論根據(jù)EH的長度求出x，再根據(jù)DF=AC-AD-FC，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．

解答：解：（1）當點A與點D重合時，
∵∠EDF=∠ACB=45°，
∴DE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE=90°，
此時四邊形ABHE是矩形，
即x=0時，y=EH=AB=6cm，
當△DEF沿AC平移時，
如圖1，延長ED交AB于點M，則有EM⊥AB，
∵∠A=45°，AD=x，
∴E點下降的距離AM=cos45°•x=

2

2

x，
∴y與x的函數(shù)關系式為y=6-

2

2

x；

（2）如圖2，當△DEF沿AC平移到使FC=

2

cm時，
由EH=3cm，得y=6-

2

2

x，
解得AD=x=3

2

cm，
在Rt△ABC中，∠A=45°，AB=6cm，
∴AC=6÷

2

2

=6

2

cm，
∴△DEF的直角邊DF=AC-AD-FC=6

2

-3

2

-

2

=2

2

cm．

點評：本題考查了等腰直角三角形，平移的性質，解直角三角形，解答本題需要熟練掌握等腰直角三角形的邊的關系．