Question

【題目】探究：如圖①， 在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,AE⊥CD于點E．若AE=10,求四邊形ABCD的面積.

應用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,AE⊥BC于點E.若AE=19，BC=10,CD=6,則四邊形ABCD的面積為 .

Answer 1

【答案】100；152.

【解析】整體分析：

探究：過點A作AF⊥CB,交CB的延長線于點F，證△AFB≌△AED，得四邊形AFCE是正方形；應用，過點A作AG⊥CD的延長線于點G，連接AC，證△ABE≌△ADG，△AEC≌△AGC，求△AEC的面積，四邊形ABCD的面積=四邊形AECG的面積求解.

解：探究，過點A作AF⊥CB,交CB的延長線于點F.

∵AE⊥CD，∠BCD＝，

∴四邊形AFCE為矩形.

∴∠FAE＝.

∴∠FAB＋∠BAE＝.

∵∠EAD＋∠BAE＝，

∴∠FAB＝∠EAD.

∵AB＝AD，∠F＝∠AED＝，

∴△AFB≌△AED.

∴AF＝AE.

∴四邊形AFCE為正方形.

∴＝＝＝＝100.

應用，過點A作AG⊥CD的延長線于點G，連接AC，

∴∠AEB=∠AGD=90°，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠ABC=∠ADG，

又∵AB=AD，

∴△ABE≌△ADG，

∴AB=AG，BE=DG，

又∵AC=AC，

∴△AEC≌△AGC，

∴CE=CG，

∴BE=BC-CE=BC-CG=BC-CD-DG=BC-CD-BE，

∵BC=10，CD=6，

∴BE=2，∴EC=10-2=8，

∴S△AEC=×CE×AE=×8×19=76.

∴四邊形ABCD的面積=四邊形AECG的面積=2S△AEC.

∴四邊形ABCD的面積=2×76=152.