Question

閱讀下面的文字，完成解答過程．
（1）

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，則

1

2007×2008

=

 

，并且用含有n的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．
（2）根據(jù)上述方法計算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2005×2007

．
（3）根據(jù)（1），（2）的計算，我們可以猜測下列結論：

1

n(n+k)

=

 

（其中n，k均為正整數(shù)），并計算

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2005×2008

．

Answer 1

分析：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（1）等式左邊等于其分母上兩因數(shù)的倒數(shù)之差；
（2）首先計算每個分數(shù)的分母上兩因數(shù)的倒數(shù)之差，再看其與該分數(shù)在數(shù)值上的區(qū)別，思考如何計算才能使二者相等；
（3）受（2）的啟發(fā)，完成猜測的結論．

解答：解：（1）

1

2007

-

1

2008

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）原式=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+

1

2

（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

（

1

2005

-

1

2007

）=

1003

2007

；
（3）

1

n(n+k)

=

1

k

（

1

n

-

1

n+k

）．
原式=

1

3

×（1-

1

4

）+

1

3

×（

1

4

-

1

7

）+…+

1

3

×（

1

2005

-

1

2008

）=

669

2008

．

點評：尋找與發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解答本題的關鍵．