Question

【題目】用一定數(shù)目的點(diǎn)或大小相同的圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形數(shù)陣.古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯用數(shù)，，，，，……這些數(shù)量的（石子），都成功的排成了等邊三角形數(shù)陣..

（問題提出）結(jié)果等于多少？

在圖1所示的等邊三角形數(shù)陣中，前行有個(gè)圓圈，前行有個(gè)圓圈，即，前行有個(gè)圓圈，即，…，則前行所有圓圈個(gè)數(shù)總和為

將圖1旋轉(zhuǎn)至圖2，觀察這兩個(gè)三角形數(shù)陣中同一行圓圈個(gè)數(shù)（如第行的圓圈個(gè)數(shù)分別為個(gè)，個(gè)），發(fā)現(xiàn)同一行圓圈個(gè)數(shù)之和均為___________個(gè)，由此可得兩個(gè)圖前行圓圈個(gè)數(shù)總和為：___________，因此，___________.

（問題延伸）結(jié)果等于多少？

圖3

圖4

在圖3所示的等邊三角形數(shù)陣中，第行圓圈中的數(shù)為，即，第行兩個(gè)圓圈中數(shù)字的和為.即…，第行個(gè)圓圈中數(shù)字的和為（共個(gè)）.即.這樣，該三角形數(shù)陣中所有圓圈中數(shù)字的和為.

將該三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖4所示的三個(gè)三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣中各行同一位置上圓圈中的數(shù)字（如第行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)字分別為，，），發(fā)現(xiàn)相同位置上三個(gè)圓圈中數(shù)字之和均為___________，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)字的總和為：___________，因此，___________.

（規(guī)律應(yīng)用）

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：的結(jié)果為___________.

Answer 1

【答案】（問題提出）n+1；n（n+1）；；（問題延伸）2n+1； ×（2n+1）；（規(guī)律應(yīng)用）1345.

【解析】

（問題提出）根據(jù)圖形可發(fā)現(xiàn)同一行圓圈個(gè)數(shù)之和均為（n+1）個(gè)，由此可得兩個(gè)圖前行圓圈個(gè)數(shù)總和為：n（n+1），因此可求出；

（問題延伸）根據(jù)材料可得相同位置上三個(gè)圓圈中數(shù)字之和為++=2n+1，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)字的總和為：×（2n+1），因此變形即可求出；

（規(guī)律應(yīng)用）根據(jù)規(guī)律即可化簡(jiǎn)求解.

（問題提出）觀察這兩個(gè)三角形數(shù)陣中同一行圓圈個(gè)數(shù)（如第行的圓圈個(gè)數(shù)分別為個(gè)，個(gè)），發(fā)現(xiàn)同一行圓圈個(gè)數(shù)之和均為（n+1）個(gè)，由此可得兩個(gè)圖前行圓圈個(gè)數(shù)總和為： n（n+1），因此，，

故答案為：n+1；n（n+1）；；

（問題延伸）

∵++=2n+1，

∴相同位置上三個(gè)圓圈中數(shù)字之和為++=2n+1，

∴這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)字的總和為：×（2n+1），

∴=

故答案為：2n+1； ×（2n+1）；

（規(guī)律應(yīng)用）

=

=

=1345

故答案為：1345.