Question

△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，在射線(xiàn)AB和BC上分別有動(dòng)點(diǎn)P、Q，且AP=CQ，連接PQ交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，作PE⊥AC，垂足為E．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB（與點(diǎn)A、B不重合）上，問(wèn)：
①線(xiàn)段PD與線(xiàn)段DQ之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
②隨著點(diǎn)P、Q的移動(dòng)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)能否確定？若能，求出DE的長(zhǎng)；若不能，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AB上，若設(shè)AP=x，CD=y，求：
①y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
②當(dāng)x為何值時(shí)，△PCQ的面積與△ABC的面積相等．

Answer 1

【答案】分析：（1）①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，推出△DHC，△APG為等邊三角形根據(jù)三角形全等，求出DP=DQ；②根據(jù)AE=EG，GD=DC，即可算出DE=AC；
（2）分為兩種情況來(lái)考慮，當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段AB上或在射線(xiàn)AB上，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)找到相等關(guān)系，經(jīng)過(guò)等量轉(zhuǎn)換即可求出答案；
（3）分兩種情況進(jìn)行分析，當(dāng)0＜x≤4時(shí)，無(wú)解；當(dāng)x＞4時(shí)，結(jié)合圖形找相等面積的三角形，求出PE的長(zhǎng)度，用含x的代數(shù)式表示出△PCQ的面積，即可根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程，得x的值．
解答：解：（1）證明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴△DHC，△APG為等邊三角形，
∵AP=CQ，
∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
∵∠GPD=∠Q，
∵△PDG≌△QDC，
∴DP=DQ，
②能確定，
∵PE⊥AC，
∴AE=EG，
∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
∴GD+EG+AE+DC=4，
∵2（GD+EG）=4，
即DE=2；

（2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
∴DH=BP，
∵AB=4，
∴BP=4-x或BP=x-4，
∴y=（4-x）=2-x（0＜x≤4）或y=x-2（x＞4），
②當(dāng)0＜x≤4時(shí)，無(wú)解，
當(dāng)x＞4時(shí)，
∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
∴PE=sin60°×x=x，
∵AB=BC=AC=4，
∴S_△ABC=4，
∵PD=DQ，
∴結(jié)合圖形可知S_△PCQ=2S_△PDC=2×，
∴2×=4，
∴（x-2）×x=4，
化簡(jiǎn)得：x²-4x-16=0，
解得：x₁=2-2（不符合題意，舍去）   x₂=2+2，
∴x=2+2，
∴當(dāng)x=2+2時(shí)，△PCQ的面積與△ABC的面積相等．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)關(guān)系式等，本題關(guān)鍵在于作出輔助線(xiàn)，找出等量關(guān)系