Question

已知：如圖，在邊長為6cm的正方形ABCD中，動點M、N從點A分別沿邊AD、AB運動至點D、B停止，動點P、Q從點C分別沿邊CB、CD運動至點B、D停止，它們同時出發(fā)，設(shè)動點速度均為1cm/s，運動時間為t s，連接MN、NP、PQ、QM．

（1）試說明在運動過程中，四邊形MNPQ是矩形；

（2）在運動過程中，當(dāng)t為何值時，四邊形MNPQ是正方形？

（3）在運動過程中，當(dāng)t為何值時，△PNB沿折痕PN翻折得到△PNB′，使得 點B′恰好落在MQ上？

（4）將△MNA、△PNB、△PQC、△MQD同時沿折痕MN、PN、QP、MQ翻折，得△MNA′、△PNB′△PQC′、△MQD′，若其中兩個三角形重疊部分的面積為4cm²，請直接寫出動點運動時間t的值．

 

Answer 1

       證明：（1）∵動點速度均為1cm/s，

∴QC=CP=AM=AN．

∵ABCD為正方形，

∴AB=BC=CD=AD．

∴QO=MD=BN=BP．

在△QCP和△MAN中，

∴△QCP≌△MAN．

∴MN=QP．

同理：MQ=NP．

∴四邊形MNPQ為平行四邊形．

∵∠C=90°，QC=CP，

∴∠CQP=45°．

同理：∠DQM=45°．

∴∠MQP=90°．

∴四邊形MNPQ為矩形．

（2）∵四邊形MNPQ為正方形，

∴MQ=QP．

∵∠CQP=45°，∠DQM=45°，

∴∠CQP=∠DQM．

在△DQM和△CQP中，

∴△DQM≌△CQP．

∴QC=DQ=3．

∴t=3s．

（3）如圖1所示

∵△PBN為等腰直角三角形，

由折疊的性質(zhì)可知四邊形B′NBP為正方形．

∴NM=OB′=OB．

在△MNA中，，在△POB中，PB=．

∵BC=CP+PB，

∴t+2t=6．

∴t=2s．

（4）如圖2所示；

∵△MNA、△BNP、△QCP、△DQM均為等腰直角三角形，

由翻折的性質(zhì)可知：四邊形QCPC′、四邊形B′A′D′C′、四邊形MANA′均為正方形．

∵重疊部分的面積為4，

∴B′A′=2．

∵AM+B′A′+CP=6．

∴2t+2=6．

∴t=2s．

如圖3所示：DM+D′C′+PB=6．

∴（6﹣t）+2+（6﹣t）=6．

解得：t=4．

綜上所述，當(dāng)t=2s或4s時，重合部分的面積為4cm²．