Question

97、如圖①，在等腰△ABC中，底邊BC上有任意一點，過點P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足為D、E，再過C作CF⊥AB于點F；（1）求證：PD+PE=CF；（2）若點P在BC的延長線上，如圖②，則PE、PD、CF之間存在什么樣的等量關(guān)系，請寫出你的猜想，并證明．

Answer 1

分析：要證明兩條線段的和等于其中一條線段，需要作輔助線：延長較短線段，把兩條加到一起或在較長線段上截�。�
（1）可以作PM⊥CF，構(gòu)造了矩形和一對全等三角形；
（2）類比（1）中的結(jié)論，很容易得到猜想，再進一步證明就可．

解答：證明：（1）作PM⊥CF，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，
∴∠FAP=∠DFM=∠FMP=90°，
∴四邊形PDFM是矩形，
∴PD=FM．
∵PE⊥AC，且PM⊥CF，
∴∠PMC=∠CEP=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB⊥FC，PM⊥FC，
∴AB∥PM，
∴∠MPC=∠B，
∴∠MPC=∠ECP，
∵PC=CP，
∴△PMC≌△PEC（AAS），
∴CM=PE，
∴PD+PE=FM+MC=CF；

（2）PD-PE=CF；
證明如下：
作CM⊥PD于M，同（1）得四邊形CMDF是矩形，則CF=DM，
∴CM∥AB，∴∠MCP=∠B，
又∠ACB=∠ECP（對頂角相等），
且AB=AC得到∠B=∠ACB，
∴∠MCP=∠ECP，
又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC=∠PEC=90°，
再PC=PC，
∴△PCM≌△PCE（AAS），
∴PM=PE，
∴PD-PE=PD-PM=DM=CF．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；解答此題的關(guān)鍵是輔助線的作法，把證明兩條線段的和或差等于一條線段轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題．