【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F,BD交AE于M.
(1)求證:△AEC≌△ADB;
(2)若BC=2,∠BAC=30°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時,求BF的長.

【答案】
(1)解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,

∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,

即∠CAE=∠DAB,

在△AEC和△ADB中,

,

∴△AEC≌△ADB(SAS)


(2)解:如圖,過點(diǎn)B作BG⊥EC于點(diǎn)G,

∵∠BAC=30°,AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=75°.

∵當(dāng)四邊形ADFC是菱形時,AC∥DF,

∴∠FBA=∠BAC=30°,

∵AB=AD,

∴∠ADB=∠ABD=30°,

∴∠ACE=∠ADB=30°,

∴∠FCB=45°.

∵BG⊥EC,

∴∠GBC=45°,

∴BG=GC=BCsin45°= ×2= ,

∵∠ABC=75°,∠ABD=30°,∠FCB=45°

∴∠BFC=180°﹣75°﹣45°﹣30°=30°,

∴BF=2BG=2


【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,進(jìn)而得到∠CAE=∠DAB,再根據(jù)SAS即可判定△AEC≌△ADB;(2)過點(diǎn)B作BG⊥EC于點(diǎn)G,根據(jù)四邊形ADFC是菱形,以及等腰三角形的性質(zhì),得出∠FCB=45°,求得BG=GC=BCsin45°= ×2= ,再根據(jù)∠BFC=30°,即可得到BF=2BG.
【考點(diǎn)精析】利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°;在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

練習(xí)冊系列答案
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4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7

4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5

3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2

5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5

4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5

頻數(shù)分布表

分組

劃記

頻數(shù)

2.0x≤3.5

正正

11

3.5x≤5.0


19

5.0x≤6.5



6.5x≤8.0



8.0x≤9.5


2

合計(jì)


50

1)把上面頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

2)從直方圖中你能得到什么信息?(寫出兩條即可);

3)為了鼓勵節(jié)約用水,要確定一個用水量的標(biāo)準(zhǔn),超出這個標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5倍價格收費(fèi),若要使60%的家庭收費(fèi)不受影響,你覺得家庭月均用水量應(yīng)該定為多少?為什么?

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