Question

附加題：
如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O₁在x軸上，⊙O₁與x軸交于點(diǎn)A（

2

-1，0），B（

2

+1，0）．直線y=x+1與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)，直線在⊙O₁的左側(cè)．
（1）求△DOC的面積；
（2）當(dāng)直線向右平移，第一次與⊙O₁相切時(shí)，求直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）先由直線的解析式y(tǒng)=x+1求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（2）先由直線平移不改變斜率，設(shè)出所求直線l的解析式為y=x+b，過點(diǎn)O₁作O₁M⊥l于M，根據(jù)切線的性質(zhì)得出O₁M等于⊙O₁的半徑1，再由互相垂直的兩條直線的斜率之積為-1，可知直線O₁M的斜率為-1．設(shè)直線O₁M的解析式為y=-x+t，將O₁點(diǎn)的坐標(biāo)（

2

，0）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線O₁M的解析式，將它與所求直線l的解析式y(tǒng)=x+b聯(lián)立，得出用含b的代數(shù)式表示兩直線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)O₁M=1列出關(guān)于b的方程，解方程即可．

解答：解：（1）如圖．
∵直線y=x+1與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），
∴△DOC的面積為：

1

2

×OC×OD=

1

2

×1×1=

1

2

；

（2）如圖，當(dāng)直線y=x+1向右平移，第一次與⊙O₁相切時(shí)，設(shè)所求直線l的解析式為y=x+b，過點(diǎn)O₁作O₁M⊥l于M，則O₁M=

1

2

AB=1．
∵互相垂直的兩條直線的斜率之積為-1，
∴直線O₁M的斜率為-1．
設(shè)直線O₁M的解析式為y=-x+t，
將O₁點(diǎn)的坐標(biāo)（

2

，0）代入，
得-

2

+t=0，解得t=

2

，
則直線O₁M的解析式為y=-x+

2

．
解方程組

y=x+b y=-x+ 2

，得

x= 2 -b 2 y= 2 +b 2

，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

2 -b

2

，

2 +b

2

）．
∵O₁M=1，
∴（

2

-

2 -b

2

）²+（

2 +b

2

）²=1，
解得b₁=0，b₂=-2

2

（不合題意，舍去）．
故所求直線的解析式為y=x．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)的綜合題型，涉及到求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，計(jì)算三角形的面積，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，運(yùn)用切線的性質(zhì)及兩點(diǎn)間的距離公式，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線平移的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．