Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB為直徑的半⊙O 切CD于點E，F(xiàn)為弧BE上一動點，過F點的直線MN為半⊙O的切線，MN交BC于M，交CD于N，則△MCN的周長為（　�。�

A.9
B.10
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：作DH⊥BC于H，如圖，
∵四邊形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB為直徑，
∴AD和BC為⊙O 切線，
∵CD和MN為⊙O 切線，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四邊形ABHD為矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
設(shè)BC=x，則CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2 ，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2 ， 解得x= ，
∴CB=CE= ，
∴△MCN的周長=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故選A．

作DH⊥BC于H，如圖，利用平行線的性質(zhì)得AB⊥AD，AB⊥BC，則根據(jù)切線的判定得到AD和BC為⊙O切線，根據(jù)切線長定理得 DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四邊形ABHD為矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，設(shè)BC=x，則 CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根據(jù)勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2 ， 解得x= ， 即CB=CE= ， 然后由等線段代換得到△MCN的周長=CE+CB=9．