Question

在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，D為x軸上一點(diǎn)，連接BD交y軸于E點(diǎn)，且tan∠CBE=

1

3

．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過(guò)A、C、D三點(diǎn)，頂點(diǎn)為F．
（1）求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）在直線DB上是否存在點(diǎn)P，使四邊形PFDO為梯形？若存在，求出其坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）要求D點(diǎn)坐標(biāo)需要知道OD的長(zhǎng)，在直角三角形ABD中，已知了AB的長(zhǎng)，而根據(jù)BC∥DA可得出∠CBE=∠ADB，即可得出∠ADB的正切值，由此可求出AD，由于OA是正方形的邊長(zhǎng)，因此可求出OD的長(zhǎng)．也就得出了D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知了正方形的邊長(zhǎng)，即可求出A、C的坐標(biāo)，在（1）中得出了D點(diǎn)的坐標(biāo)，因此可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而可用配方法或公式法求出拋物線頂點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（3）可先求出直線BD的解析式，然后分兩種情況求解：
①PF∥OD，可得出P、F的縱坐標(biāo)相同，將F點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線BD的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判定PF是否與OD相等即可．如果PF=OD，則說(shuō)明四邊形PFDO是平行四邊形，不是梯形，反之則是梯形．
②PO∥DF，可根據(jù)直線BD的解析式設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（先設(shè)橫坐標(biāo)，然后根據(jù)直線BD的解析式表示出縱坐標(biāo)），由于PO∥DF，因此∠FDO與∠POA的正切值相同，據(jù)此可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，后面同①．

解答：解：（1）AD=6，D點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x+4），已知拋物線過(guò)C（0，2），
則有：2=a（0-2）（0+4），
解得a=-

1

4

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²-

1

2

x+2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，

9

4

）．

（3）在直線DB上存在點(diǎn)P，使四邊形PFDO為梯形，
直線DB的解析式為y=

x

3

+

4

3

．
①若PF∥OD
當(dāng)y=

9

4

時(shí)
即x=

11

4

．P₁（

11

4

，

9

4

）
此時(shí)PF≠OD
所以四邊形PFDO不是平行四邊形，PO與FD不平行所以四邊形PFDO是梯形．（10分）
②若PO∥FD，
設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為

m

3

+

4

3

．過(guò)P作PG⊥x軸于G，拋物線對(duì)稱(chēng)x=-1與x軸交于K．
tan∠FDK=tan∠POG
解之，得m=

16

5

，經(jīng)檢驗(yàn)m=

16

5

是原方程的根．
P₂（

16

5

，

12

5

）
OP=

15

4

，DF=

16

5

因?yàn)镺P≠DF，
所以四邊形PFDO不是平行四邊形，PF與OD不平行．
所以四邊形PFDO是梯形．
在直線DB上存在點(diǎn)P₁（

11

4

，

9

4

），P₂（

16

5

，

12

5

），使四邊形PFDO為梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定等知識(shí)點(diǎn)．
要注意（3）題中，梯形的定義是一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形，因此不要遺漏另一組對(duì)邊不平行的判定條件．