Question

（2009•西城區(qū)一模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將∠OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．
（1）直接寫出點C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QA-QO|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）點A的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)為0，得橫坐標(biāo)為8，所以點A的坐標(biāo)為（8，0）；
點B的坐標(biāo)是橫坐標(biāo)為0，解得縱坐標(biāo)為6，所以點B的坐標(biāo)為（0，6）；
由題意得：BC是∠ABO的角平分線，所以O(shè)C=CH，BH=OB=6
∵AB=10，∴AH=4，
設(shè)OC=x，則AC=8-x
由勾股定理得：x=3
∴點C的坐標(biāo)為（3，0）
將此三點代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得；
（2）求得直線BC的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角相等，對邊平行且相等，借助于三角函數(shù)即可求得；
（3）如圖，由對稱性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|．
當(dāng)點Q與點B重合時，Q、H、A三點共線，
|QA-QO|取得最大值4（即為AH的長）；
設(shè)線段OA的垂直平分線與直線BC的交點為K，
當(dāng)點Q與點K重合時，|QA-QO|取得最小值0．
解答：解：（1）點C的坐標(biāo)為（3，0）．（1分）
∵點A、B的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（0，6），
∴可設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-8）．
將x=0，y=6代入拋物線的解析式，
得．（2分）
∴過A、B、C三點的拋物線的解析式為．（3分）

（2）可得拋物線的對稱軸為直線，頂點D的坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G．
直線BC的解析式為y=-2x+6.4分）
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-2x+6）．
解法一：如圖，作OP∥AD交直線BC于點P，
連接AP，作PM⊥x軸于點M．
∵OP∥AD，
∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．
∴，
即．
解得．
經(jīng)檢驗是原方程的解．
此時點P的坐標(biāo)為．（5分）
但此時，OM＜GA．
∵，
∴OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，
∴直線BC上不存在符合條件的點P（6分）

解法二：如圖，取OA的中點E，
作點D關(guān)于點E的對稱點P，作PN⊥x軸于
點N．則∠PEO=∠DEA，PE=DE．
可得△PEN≌△DEG．
由，可得E點的坐標(biāo)為（4，0）．
NE=EG=，ON=OE-NE=，NP=DG=．
∴點P的坐標(biāo)為．（5分）
∵x=時，，
∴點P不在直線BC上．
∴直線BC上不存在符合條件的點P．（6分）


（3）|QA-QO|的取值范圍是．（8分）
當(dāng)Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點時，（如點K處），此時OK=AK，則|QA-QO|=0，
當(dāng)Q在AH的延長線與直線BC交點時，此時|QA-QO|最大，
直線AH的解析式為：y=-x+6，直線BC的解析式為：y=-2x+6，
聯(lián)立可得：交點為（0，6），
∴OQ=6，AQ=10，
∴|QA-QO|=4，
∴|QA-QO|的取值范圍是：0≤|QA-QO|≤4．

點評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)以及平行四邊形的綜合知識，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真識圖，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．