Question

【題目】函數(shù)y1＝kx2+ax+a的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），函數(shù)y2＝kx2+bx+b，的圖象與x軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），其中k≠0，a≠b．

（1）求證：函數(shù)y1與y2的圖象交點(diǎn)落在一條定直線上；

（2）若AB＝CD，求a，b和k應(yīng)滿足的關(guān)系式；

（3）是否存在函數(shù)y1和y2，使得B，C為線段AD的三等分點(diǎn)？若存在，求的值，若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】(1) 見解析;(2) a+b＝4k ;(3) ＝或

【解析】

(1)使兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式相等，根據(jù)已知求出x的值即可判斷；

(2)表示出A、B、C、D的坐標(biāo)，求出AB、CD，列方程求解即可；

(3)方法與(2)相同，利用三等分點(diǎn)條件，列方程求解即可.

(1)當(dāng)y1＝y2時(shí)，kx2+ax+a＝kx2+bx+b，

∵a≠b，

∴x＝﹣1，

∴函數(shù)y1與y2的圖象交點(diǎn)落在一條定直線上；

(2)若AB＝CD則xB﹣xA＝xD﹣xC，

A、B、C、D為拋物線與x軸的交點(diǎn)，可得

xA＝，xB＝，

xC＝，xD＝，

代入xB﹣xA＝xD﹣xC得

-=-，

所以a+b＝4k；

(3)因?yàn)?/span>B、C為線段AD的三等分點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，BC=CD，則有xC﹣xD＝xC﹣xB，

∴2xC＝xD+xB，

∴2×＝+，

整理得：a2+b2+14ab＝0，

∴()2++1＝0，

解得＝或；

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，AC=BC，則有xC﹣xA＝xB﹣xC，

∴2xC＝xA+xB，

∴2×＝+，

即＝，

整理得：a-b=，

∵a+b=4k，

∴a-b=，

即a-b=，

a2+b2-ab＝0，

∴()2-+1＝0，

△<0，方程無解，

綜上，的值為或.