【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上,AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)連接BE交AC于點(diǎn)F,若cos∠CAD= ,求 的值.
【答案】
(1)證明:連接OC,
∵CD是⊙O的切線,
∴CD⊥OC,
又∵CD⊥AD,
∴AD∥OC,
∴∠CAD=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠CAD=∠CAO,
即AC平分∠DAB
(2)解:連接BE、BC、OC,BE交AC于F交OC于H.
∵AB是直徑,
∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°,
∴四邊形DEHC是矩形,
∴∠EHC=90°即OC⊥EB,
∴DC=EH=HB,DE=HC,
∵cos∠CAD= = ,設(shè)AD=4a,AC=5a,則DC=EH=HB=3a,
∵cos∠CAB= = ,
∴AB= a,BC= a,
在RT△CHB中,CH= = a,
∴DE=CH= a,AE= = a,
∵EF∥CD,
∴ = =
【解析】(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)和已知求出OC∥AD,求出∠OCA=∠CAO=∠DAC,即可得出答案;(2)連接BE、BC、OC,BE交AC于F交OC于H,根據(jù)cos∠CAD= = ,設(shè)AD=4a,AC=5a,則DC=EH=HB=3a,根據(jù)cos∠CAB= = ,求出AB、BC,再根據(jù)勾股定理求出CH,由此即可解決問(wèn)題;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC,與AB、AC分別相交于E、F,若已知AB=9,AC=7,求△AEF的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】填空并完成以下證明:
已知:點(diǎn)P在直線CD上,∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2.
求證:AB∥CD,∠E=∠F.
證明:∵∠BAP+∠APD=180°,(已知)
∴AB∥ .( )
∴∠BAP= .( )
又∵∠1=∠2,(已知)
∠3= ﹣∠1,
∠4= ﹣∠2,
∴∠3= (等式的性質(zhì))
∴AE∥PF.( )
∴∠E=∠F.( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.
(1)求證:四邊形EFCD是平行四邊形;
(2)若BF=EF,求證:AE=AD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y= x,點(diǎn)A1(0,1),過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1 , 以原點(diǎn)O為圓心,OB1長(zhǎng)為半徑畫弧交y軸于點(diǎn)A2;再過(guò)點(diǎn)A2作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B2 , 以原點(diǎn)O為圓心,OB2長(zhǎng)為半徑畫弧交y軸于點(diǎn)A3 , …,按此作法進(jìn)行下去,則OA2017= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】課本的作業(yè)題中有這樣一道題:把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形,你能辦到嗎?請(qǐng)畫示意圖說(shuō)明剪法.
我們有多少種剪法,圖1是其中的一種方法:
定義:如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線.
(1)請(qǐng)你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線,并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù);(若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形,則視為同一種)
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分線,點(diǎn)D在BC邊上,點(diǎn)E在AC邊上,且AD=BD,DE=CE,設(shè)∠C=x°,試畫出示意圖,并求出x所有可能的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在方格紙中(小正方形的邊長(zhǎng)為1),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn),將△ABC沿x軸向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,根據(jù)所給的直角坐標(biāo)系(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),解答下列問(wèn)題:
(1)畫出平移后的△A′B′C′,并直接寫出點(diǎn)A′、B′、C′的坐標(biāo);
(2)求出在整個(gè)平移過(guò)程中,△ABC掃過(guò)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形ABCD是菱形,E是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),F(xiàn)是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DE=BF.請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn),和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段,猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只須證明一組線段相等即可).
(1)連接 ;
(2)猜想: = ;
(3)證明:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,點(diǎn)B、D分別在∠MAN的兩邊AM、AN上,點(diǎn)C是射線AP上的一點(diǎn),連接BC、DC,∠MAN=α,∠BCD=β,(0°<α<180°,0°<β<180°);BE平分∠MBC,DF平分∠NDC.
(1)如圖1,若α=β=80°,
①求∠MBC+∠NDC的度數(shù);
②判斷BE、DF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在射線AP上運(yùn)動(dòng)時(shí),若直線BE、DF相交于點(diǎn)G,請(qǐng)用含有α、β的代數(shù)式表示∠BGD.(直接寫結(jié)果)
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