Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若OA、OB（OA＜OB）的長(zhǎng)分別是方程x²-4x+3=0的兩根，且∠DAB=45°．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥AD交拋物線于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)A任作直線l交線段CD于點(diǎn)P，若點(diǎn)C、D到直線l的距離分別記為d₁、d₂，試求的d₁+d₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）通過解方程即可求得OA、OB的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，且∠DAB=45°，那么△DAB是等腰直角三角形，即可利用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）由于AC⊥AD，且∠DAB=45°，則∠CAB=45°，設(shè)出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，那么其縱坐標(biāo)應(yīng)為m+1，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）易得AC、AD的長(zhǎng)，由于△ACD是直角三角形，那么AC•AD=AP•d₁+AP•d₂，由此可得d₁+d₂=

AC•AD

AP

，過A作AM⊥CD于M，利用△ACD的面積可求得AM的長(zhǎng)，在Rt△APM中，AP≥AM，故d₁+d₂≤

AC•AD

AM

，而AC、AD、AM的長(zhǎng)都已求得，由此可確定d₁+d₂的最大值．

解答：解：（1）解方程x²-4x+3=0得：
x=1或x=3，而OA＜OB，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；（1分）
∵A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2）；
令拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）²-2，
∵拋物線過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=4a-2，得a=

1

2

，
故拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=

1

2

（x-1）²-2（或?qū)懗蓎=

1

2

x²-x-

3

2

）；（4分）

（2）∵CA⊥AD，∠DAC=90°，（5分）
又∵∠DAB=45°，
∴∠CAB=45°；
令點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），則有m+1=n，（6分）
∵點(diǎn)C在拋物線上，
∴n=

1

2

（m-1）²-2；（7分）
化簡(jiǎn)得m²-4m-5=0
解得m=5，m=-1（舍去），
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，6）；（8分）

（3）由（2）知AC=6

2

，而AD=2

2

，
∴DC=

AD2+AC2

=4

5

；
過A作AM⊥CD，
又∵

1

2

AC×AD=

1

2

DC×AM，
∴AM=

24

4 5

=

6 5

5

，（9分）
又∵S_△ADC=S_△APD+S_△APC
∴

1

2

×AC×AD=

1

2

AP×d1+

1

2

AP×d2，（11分）
d₁+d₂=

24

AP

≤

24

AM

=24×

5

6 5

=4

5

；
即此時(shí)d₁+d₂的最大值為4

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、三角形面積的計(jì)算方法以及不等式的應(yīng)用等重要知識(shí)，涉及知識(shí)面廣，難度較大．