Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定：拋物線的伴隨直線為.例如：拋物線的伴隨直線為，即．

（1）在上面規(guī)定下，拋物線的頂點(diǎn)為　　　　．伴隨直線為　　　　；拋物線與其伴隨直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　和　　　　；

（2）如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè))與軸交于點(diǎn)

①若求的值；

②如果點(diǎn)是直線上方拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積記為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）(﹣1，﹣4)，y=x﹣3，(0，﹣3)，(﹣1，﹣4)；（2）①m的值為；②m=－2．

【解析】

（1）根據(jù)題干中的定義即可找出其伴隨直線為y=(x+1)﹣4，即y=x﹣3，再聯(lián)立拋物線求解即可

（2）①先與其伴隨直線聯(lián)立求得交點(diǎn)，再求出拋物線與x軸的交點(diǎn)C，D，根據(jù)∠CAB=90°由勾股定理求出m；

②設(shè)直線BC的解析式為y=kx＋b．將B(2，－3m)，C(－1，0)代入求出y=－mx－m．過P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q，將三角形面積用含m的表達(dá)式表示出來即可

（1）由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=(x+1)﹣4，即y=x﹣3，

聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，∴其交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，﹣3)和(﹣1，﹣4)．

故答案為：(﹣1，﹣4)；y=x﹣3；(0，﹣3)；(﹣1，﹣4)；

（2）①∵拋物線解析式為y=m(x－1)2－4m，∴其伴隨直線為y=m(x－1)－4m，即y=mx－5m．

聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得解得或，∴A(1，－4m)，B(2，－3m)．

在y=m(x－1)2－4m中，

令y=0可得x=－1或x=3，∴C(－1，0)，D(3，0)，∴AC2=4＋16m2，AB2=1＋m2，BC2=9＋9m2．

∵∠CAB=90°，∴AC2＋AB2=BC2，即4＋16m2＋1＋m2=9＋9m2，解得：m= (拋物線開口向下，舍去)或m=－，∴當(dāng)∠CAB=90°時(shí)，m的值為－．

②設(shè)直線BC的解析式為y=kx＋b．

∵B(2，－3m)，C(－1，0)，∴，解得，∴直線BC的解析式為y=－mx－m．

過P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，∴P(x，m(x－1)2－4m)，Q(x，－mx－m)．

∵P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PQ=m(x－1)2－4m＋mx＋m=m(x2－x－2)=m[(x－)2－]，∴S△PBC=×[2－(－1)]PQ=m(x－)2－m，∴當(dāng)x=時(shí)，△PBC的面積有最大值－m，∴S取最大時(shí)，即－m=，解得：m=－2．