Question

【題目】如圖①所示，直線L：y＝kx+5k與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)OA＝OB時(shí)，試確定直線L解析式；

(2)在(1)的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接OQ，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若BN＝3，求MN的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)K取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以OB、AB為邊在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想△ABP的面積是否改變，若不改變，請(qǐng)求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(4)當(dāng)K取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，以AB為邊在第二象限作等腰直角△ABE，則動(dòng)點(diǎn)E在直線______上運(yùn)動(dòng)．(直接寫出直線的表達(dá)式)

Answer 1

【答案】(1)y＝x+5；(2)MN＝7；(3)S△ABP＝；(4)y＝﹣x+5．

【解析】

（1）由直線L解析式，求出A與B坐標(biāo)，根據(jù)OA=OB，求出m的值，即可確定出直線L解析式；
（2）由OA=OB，對(duì)頂角相等，且一對(duì)直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用對(duì)應(yīng)線段相等求長(zhǎng)度，然后過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OA，易得△OMH∽△OAM，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，尋找相等線段，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得PB的長(zhǎng)，繼而求得△ABP的面積；
（4）由（3）可得OA=BK=5，EK=OB=5k，則可得OK=OB+BK=5k+5，即可得點(diǎn)E（-5k，5k+5），繼而可知?jiǎng)狱c(diǎn)E在直線y=-x+5上運(yùn)動(dòng)．

解：(1)∵直線L：y＝mx+5m，

∴A(﹣5，0)，B(0，5m)，

由OA＝OB得,5m＝5，m＝1，

∴直線解析式為：y＝x+5．

(2)在△AMO和△OBN中，

∴△AMO≌△ONB．

∴AM＝ON＝4，

∴BN＝OM＝3．

∴MN＝OM+ON＝7，

(3)如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)．

先證△ABO≌△BEK，

∴OA＝BK，EK＝OB．

再證△PBF≌△PKE，

∴PK＝PB．

∴PB＝BK＝OA．

S△ABP＝=AO2＝

(4)如圖3，∵A(﹣5，0)，B(0，5k)，

∴OA＝BK＝5，EK＝OB＝5k，

∴OK＝OB+BK＝5k+5，

∴點(diǎn)E(﹣5k，5k+5)，

∵動(dòng)點(diǎn)E在直線y＝﹣x+5上運(yùn)動(dòng)．

故答案為：y＝﹣x+5．