如圖,已知頂點(diǎn)為P的拋物線y=
1
2
x2+bx+c
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,6),并x軸交于B(-1,0),C兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求四邊形ABPC的面S;
(3)試判斷四邊形ABPC的形狀,并說(shuō)明理由.
(1)把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得到
1
2
×9-3b+c=6
1
2
×1-b+c=0
,
解得
b=-1
c=-
3
2

所以,拋物線的解析式為y=
1
2
x2-x-
3
2
;

(2)由拋物線解析式易得C(3,0),頂點(diǎn)P(1,-2),
S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=
1
2
BC•yA+
1
2
BC•|yp|=
1
2
(3+1)×6+
1
2
(3+1)×2=16,

(3)四邊形ABPC是直角梯形.理由如下:
如圖,過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)P分別作x軸的垂線段AE和PF,
又∵PB=PC
∴BF=CF
又∵PF=|yp|=2,BC=4
∴PF=
1
2
BC

∴△PBC是直角三角形,且∠BPC=90°
∴∠PCB=45°
在直角三角形△AEC中,AE=|yA|=6,CE=xc-xa=3-(-3)=6
∴AE=CE
∴∠ACE=45°
∴∠PCA=∠PCB+∠ACE=90°
∴∠PCA+∠BPC=180°
∴BPAC
又∠BPC=90°
∴四邊形ABPC是直角梯形.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線:y=
1
2
x2+bx+c
與x軸交于A、B(A在B左側(cè)),頂點(diǎn)為C(1,-2),
(1)求此拋物線的關(guān)系式;并直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo).
(2)求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑.
(3)在拋物線上找點(diǎn)P,在y軸上找點(diǎn)E,使以A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P、E的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(5,0),C(0,-
5
2
)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題--將軍飲馬問(wèn)題:
如圖1所示,詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短?
作法如下:如(1)圖,從B出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AP的延長(zhǎng)線上,取B關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點(diǎn)就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現(xiàn)
再如(2)圖,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn),連接EF,在線段EF上找一點(diǎn)P,使BP+AP最短.
作點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接AC交EF于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+AP的最小值為_(kāi)_____.

(2)實(shí)踐運(yùn)用
如(3)圖,已知⊙O的直徑MN=1,點(diǎn)A在圓上,且∠AMN的度數(shù)為30°,點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P在直徑MN上運(yùn)動(dòng),求BP+AP的最小值.

(3)拓展遷移
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
①求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在拋物線的對(duì)稱軸直線x=1上找到一點(diǎn)M,使△ACM周長(zhǎng)最小,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與△ACM周長(zhǎng)最小值.(結(jié)果保留根號(hào))

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(個(gè)008•棗莊)在直角坐標(biāo)平面中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),二次函數(shù)y=-x個(gè)+(k-1)x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,且S△OAB=a.
(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo);
(個(gè))求此二次函數(shù)的解析式;
(3)如果點(diǎn)d在x軸上,且△ABd是等腰三角形,求點(diǎn)d的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式為_(kāi)_____.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0),以AB為直徑作⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),其頂點(diǎn)為M點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D是拋物線與⊙P的第四個(gè)交點(diǎn)(除A、B、C三點(diǎn)以外),求直線MD的解析式;
(3)判定(2)中的直線MD與⊙P的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,AB⊥BC,且點(diǎn)C在x軸上,若拋物線y=ax2+bx+c以C為頂點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則這條拋物線的關(guān)系式為_(kāi)_____.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出,平均每月能售出600個(gè).市場(chǎng)調(diào)研表明:當(dāng)銷售價(jià)為每上漲1元時(shí),其銷售量就將減少10個(gè).商場(chǎng)要想銷售利潤(rùn)平均每月達(dá)到最大,每個(gè)臺(tái)燈的定價(jià)應(yīng)為多少元?這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)?月銷售利潤(rùn)最大為多少元?

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