Question

【題目】已知如圖所示的一張平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形．

（2）若AB=8cm，∠B=90°，△ABF的面積為24cm2，求菱形AFCE的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形AFCE的周長為40cm．

【解析】試題分析： （1）由折疊可得EA=EC，FA=FC，∠2=∠3；由四邊形ABCD為平行四邊形可得∠1=∠2，根據等量代換可得∠1=∠3，由三線合一知△AEF為等腰三角形，所以AE=AF，從而可證四邊形AFCE是菱形；

（2）由△ABF的面積為24cm2和AB=8cm，根據三角形面積公式可求出BF=6cm，利用勾股定理求出AF=10cm，從而可求出菱形的周長.

（1）證明：∵將平行四邊形ABCD（AD＞AB）折疊，使點A與點C重合，

∴EF垂直平分AC，

∴EA=EC，FA=FC，

∴∠2=∠3，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∵AO⊥EF，

∴△AEF為等腰三角形，

∴AE=AF，

∴AE=EC=AF=CF，

∴四邊形AFCE是菱形；

（2）解：在Rt△ABF中，∵ABBF=24，AB=8cm，

∴BF=6cm，

∴AB2+BF2=AF2=100，

∴AF=10cm，

∴菱形AFCE的周長為10×4=40（cm）．

故菱形AFCE的周長為40cm．