Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AB ∥ CD.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形.

（2）當△ABD滿足什么條件時，四邊形ABCD是正方形.（直接寫出一個符合要求的條件）.

（3）對角線AC和BD交于點O，∠ ADC =120°，AC=8， P為對角線AC上的一個動點，連接DP，將DP繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到線段DP1，直接寫出A P1的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) .

【解析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，然后證明它是菱形即可.

（2）由（1）已知四邊形ABCD是菱形，所以當△ABD是直角三角形時，四邊形ABCD是正方形.

（3）將線段AC順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，并連接AE，點到直線的距離垂線段最短，所以AP1垂直CE時，AP1取最小值，點P1在E點，AP1取最大值，即可求解.

證明：（1） AB=AD，CB=CD，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ADB=∠CBD，

∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.

又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形.

（2）要使四邊形ABCD是正方形，則∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，

∴當△ABD是直角三角形時，即∠BAD=90°時，四邊形ABCD是正方形；

（3）以點C為中心，將線段AC順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，由題意可知，點P1在線段CE上運動.

連接AE，

∵AC=CE，∠ACE=60°，∴△ACE為等邊三角形，

∴AC=CE=AE=8，過點A作于點F，

∴.當點P1在點F時，線段AP1最短，此時；.

當點P1在點E時，線段AP1最長，此時AP1=8，

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