Question

【題目】如圖所示，⊙O的直徑AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，

（1）求證：△ABD是等腰三角形；

（2）求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）CD=7．

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACD=∠BCD，根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的定義證明即可；

（2）作AE⊥CD于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD，根據(jù)勾股定理求出AE、CE，DE，結(jié)合圖形計(jì)算，即可得到答案．

（1）連接OD．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠BCD=45°，由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=90°，∠BOD=2∠BCD=90°，∴∠AOD=∠BOD=90°，∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形；

（2）作AE⊥CD于E．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴ADAB=5．

∵AE⊥CD，∠ACE=45°，∴AE=CE=AC=3．在Rt△AED中，DE，∴CD=CE+DE=3．