Question

如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且與小圓相交于點A．與大圓相交于點B．小圓的切線AC與大圓相交于點D，且CO平分∠ACB．

（1）試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

（1）BC所在直線與小圓相切，理由見試題解析；（2）BC=AD+AC，理由見試題解析；（3）16cm²．

試題分析：（1）只要證明OE垂直BC即可得出BC是小圓的切線，即與小圓的關(guān)系是相切；
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，從而得出EB=AD，從而得到三者的關(guān)系是前兩者的和等于第三者；
（3）根據(jù)大圓的面積減去小圓的面積即可得到圓環(huán)的面積．
試題解析：（1）BC所在直線與小圓相切．
理由如下：過圓心O作OE⊥BC，垂足為E；∵AC是小圓的切線，AB經(jīng)過圓心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，∴BC所在直線是小圓的切線；
（2）AC+AD=BC．理由如下：
連接OD．∵AC切小圓O于點A，BC切小圓O于點E，∴CE=CA；∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，，∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），∴EB=AD；∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD；
（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，∴AC=6cm；∵BC=AC+AD，∴AD=BC﹣AC=4cm，∵圓環(huán)的面積為：S=π（OD）²﹣π（OA）²=π（OD²﹣OA²），又∵OD²﹣OA²=AD²，∴S=4²π=16π（cm²）．