Question

已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA=

3

，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）求∠PCB的度數(shù)；
（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y=-

4

3

x²+bx+c上，求b，c的值，并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上；
（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，N是y軸上的點(diǎn)，以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）在Rt△OAC中，OA=

3

，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知：OA=AP=

3

，∠ACO=∠ACP=60°；
∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°．

（2）過(guò)P作PQ⊥OA于Q；
Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=

3

；
∴OQ=AQ=

3

2

，PQ=

3

2

，
所以P（

3

2

，

3

2

）；
將P、A代入拋物線的解析式中，得：

-1+ 3 2 b+c= 3 2 -4+ 3 b+c=0

，
解得

b= 3 c=1

；
即y=-

4

3

x²+

3

x+1；
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，故C（0，1）在拋物線的圖象上．

（3）①若DE是平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)C在y軸上，CD平行x軸，
∴過(guò)點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，
把y=1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3 3

4

，1）
把y=0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

3

4

，0）
∴M（

3

2

，0）；N點(diǎn)即為C點(diǎn)，坐標(biāo)是（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，
過(guò)點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，
∴DE=AN=

OA2+ON2

=

3+1

=2，
∵tan∠EAN=

ON

OA

=

3

3

，
∴∠EAN=30°，
∵∠DEA=∠EAN，
∴∠DEA=30°，
∴M（

3

，0），N（0，-1）；
同理過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，
∴M（-

3

，0），N（0，1）．