Question

【題目】（一）如圖（1），已知圓，點(diǎn)、在圓上，且為等邊三角形，點(diǎn)為直線與圓的一個(gè)交點(diǎn).連接，，證明：

（方法遷移）

（二）如圖（2），用直尺和圓規(guī)在矩形內(nèi)作出所有的點(diǎn)，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（深入探究）

（三）已知矩形，，，為邊上的點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)P恰有兩個(gè)，求的取值范圍.

（四）已知矩形，，，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，若點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，求的最小值，并求此時(shí)的面積.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；

（2）見詳解 ；

（3）2≤m<2+.

（4）的最小值為-2.，并求此時(shí)的面積是.

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理即可證明；

（2）根據(jù)圓周角定理可知點(diǎn)∠BPC所對(duì)弧所對(duì)的圓心角等于90°，所以作出一個(gè)90°的圓心角即可；

（3）由點(diǎn)P要在AD上，且有兩個(gè)，故AD應(yīng)與圓O相交，且要在EF的上方，從而先算出臨界值，則m在它們之間.

（4）先確定出當(dāng)A,P,O在同一直線上時(shí)，AP取得最小值，從而得出此時(shí)PQ取得最小值，畫出圖形，利用勾股定理求解即可.利用相似三角形的性質(zhì)和判定求出的高，再利用三角形的面積計(jì)算公式計(jì)算即可.

證明：（1）如圖1所示，連接AP,BP.

∵為等邊三角形，

∴∠AOB=60°.

∵∠APB=∠AOB,

∴∠APB=30°.

解：（2）如圖2所示：點(diǎn)P在上即可.

（3）由（2）得，要使的點(diǎn)P恰有兩個(gè)，則AD與相交，如圖3所示，

①當(dāng)AD與⊙O相切時(shí)，連接OP，并延長(zhǎng)PO與BC相交于Q，

∵AD與⊙O相切，

∴∠APQ=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABQ=90°.

∴∠A=∠ABQ=∠APQ=90°.

∴四邊形ABQP為矩形，

∴PQ=AB=m.

∵△BOC是等腰直角三角形，

∴OQ=BC=，OB=2.

∴PQ=2+.

∴m<2+.

②當(dāng)AD與EF重合時(shí)，

m=BE=BC=2

綜上所述，m的取值范圍為：2≤m<2+.

（4）如圖4所示：

依題意可知，當(dāng)A,P,O在同一直線上時(shí)，AP有最小值，此時(shí)PQ最小.

過點(diǎn)O作OH⊥BC于H，作OG⊥AB于G，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，連接OP，OB.

∵∠GBH=90°，

∴四邊形BGOH為矩形，

∴OG=BH=BC=.

∵∠BPC=120°，

∴∠BOC=120°，

∵OB=OC,

∴∠OBH=30°.

∴設(shè)OH=x，則OB=2x.

在Rt△OBH中

OB2-OH2=BH2,

即4x2-x2=()2,

解得：x=1.

∴OH=1,OB=2.

∵AB=3,

∴AG=4.

在Rt△AGO中

OA==

∴AP=-2.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AQ=AP=-2，∠PAQ=90°，

根據(jù)勾股定理可求得：PQ==AP=-2.

∵OG⊥AB，PM⊥AB

∴PM∥OG,

∴=

∵OG=,AP=-2,OA=

∴PM=.

∴的面積=ABPM=3=.

答：的最小值為-2.，并求此時(shí)的面積是.