Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在線段CB的延長線上，連接PA，將線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PE，連接CE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于H，與對角線AC交于點(diǎn)F．

（1）請根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：EH＝FH．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意畫出對應(yīng)的幾何圖形即可；

（2）先根據(jù)題意和正方形的性質(zhì)推出FH＝CH，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和AAS證明△APB≌△PEH，得到PB＝EH，PH＝AB，然后利用等線段代換即可得到結(jié)論．

（1）解：如圖.

（2）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，

∴△CFH為等腰直角三角形，

∴FH＝CH，

∵線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PE，EF⊥BC，

∴PA＝PE，∠APE＝∠PHE =∠ABC =90°，

∵∠APB+∠HPE＝90°，∠APB+∠PAB＝90°，

∴∠PAB＝∠HPE，

∴△APB≌△PEH（AAS），

∴PB＝EH，PH＝AB，

∴PH＝BC，

∴PB＝CH，

∴CH＝HE，

∴EH＝FH．