Question

（2013•上海模擬）將矩形ABCD折疊，使得對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)A、C重合，折痕所在直線交直線AB于點(diǎn)E，如果AB=4，BE=1，那么∠CAB的余切值是

2

或

6

3

．

Answer 1

分析：本題是一道比較常見(jiàn)的折疊問(wèn)題，需要注意題目中的“直線AB”與“折痕所在的直線”，顯然，滿(mǎn)足題意的情況有兩種：①點(diǎn)E在線段AB上，如圖1；②點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖2．因此需要分類(lèi)討論．

解答：解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．易得AH=BE=1，則HE=AB-2BE=2．
設(shè)BC=PH=x，易證△ABC∽△PHE，則

4

x

=

x

2

，解得x=2

2

，此時(shí)，cot∠CAB=

2

；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)．過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．
易得PH=AB=4，
易得

BQ

QH

=

BE

PH

=

1

4

，BQ=CH=

1

4

QH．
設(shè)BC=t，則QH=

2

3

t．
易證△ABC∽△QHP，則

4

t

=

2 3 t

4

，解得t=2

6

，此時(shí)cot∠CAB=

6

3

．
綜上所述，∠CAB的余切值是

2

或

6

3

．
故答案是：

2

或

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊問(wèn)題以及矩形的性質(zhì)．解題時(shí)，一定要分類(lèi)討論，以防漏解．