Question

如圖①，點(diǎn)A是直線y=kx（k＞0，且k為常數(shù)）上一動(dòng)點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y=（x-h）²+m交直線y=kx于另一點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B，交直線EF于點(diǎn)C（點(diǎn)A、E、F兩兩不重合）．
（Ⅰ）寫出h與m之間的關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示）；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使EF與x軸平行時(shí)（如圖②），求

AC

OF

的值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)F的位置最低時(shí)（如圖③），求

AC

OF

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于拋物線的頂點(diǎn)（h，m）在直線y=kx上，把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可得到h與m之間的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)EF與x軸平行時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到FC=CE，然后利用CA∥y軸怎么△ECA∽△EFO，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到

AC

OF

的值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)F的位置處于最低時(shí)，其縱坐標(biāo)h²+kh最小，而h2+kh=[h2+kh+(

1

2

k)2]-

1

4

k2=(h+

1

2

k)2-

1

4

k2，當(dāng)h=-

1

2

k時(shí)，點(diǎn)F的位置最低，此時(shí)F（0，-

1

4

k2），然后解方程組

y=(x+ 1 2 k)2- 1 2 k2 y=kx.

得E的坐標(biāo)（

1

2

k，

1

2

k2），同時(shí)確定A的坐標(biāo)（-

1

2

k，-

1

2

k2），然后利用待定系數(shù)法可以確定直線EF的解析式，最后把x=-

1

2

k代入直線EF的解析式中確定即點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后分別可以求出線段AC的長(zhǎng)度，OF的長(zhǎng)度解決問題．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線的頂點(diǎn)（h，m）在直線y=kx上，
∴m=kh；

（Ⅱ）當(dāng)EF與x軸平行時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴FC=CE．
∵CA∥y軸，
∴△ECA∽△EFO．
∴

AC

OF

=

EC

EF

=

1

2

；

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)F的位置處于最低時(shí)，其縱坐標(biāo)h²+kh最小，（5分）
∵h2+kh=[h2+kh+(

1

2

k)2]-

1

4

k2=(h+

1

2

k)2-

1

4

k2，
當(dāng)h=-

1

2

k時(shí)，點(diǎn)F的位置最低，此時(shí)F（0，-

1

4

k2）．（6分）
解方程組

y=(x+ 1 2 k)2- 1 2 k2 y=kx.

，
得E（

1

2

k，

1

2

k2），A（-

1

2

k，-

1

2

k2）．（7分）
設(shè)直線EF的解析式為y=px+q，
將點(diǎn)E（

1

2

k，

1

2

k2），F(xiàn)（0，-

1

4

k2）的橫縱坐標(biāo)分別代入，
得

1 2 k2= 1 2 kp+q - 1 4 k2=q

．（8分）
解得

p= 3 2 k q=- 1 4 k2.

∴直線EF的解析式為y=

3

2

kx-

1

4

k2．（9分）
當(dāng)x=-

1

2

k時(shí)，y=-k²，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

1

2

k，-k²），
∵點(diǎn)A（-

1

2

k，-

1

2

k2），
∴AC=

1

2

k2，
而OF=

1

4

k2，
∴

AC

OF

=

1 2 k2

1 4 k2

=2．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的平移、函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與其解析式的組成的方程組的解的關(guān)系及相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高，平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練．