Question

如圖，拋物線y=

1

4

x²+bx+c頂點(diǎn)為M，對稱軸是直線x=1，與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0）和B．將拋物線y=

1

4

x²+bx+c繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)M₁，A₁為點(diǎn)M，A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)及求拋物線y=

1

4

x²+bx+c的解析式；
（2）求證：A，M，A₁三點(diǎn)在同一直線上；
（3）設(shè)點(diǎn)P是旋轉(zhuǎn)后拋物線上DM₁之間的一動點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PM₁MD的面積最大？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PM₁MD的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱性即可寫出B的坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸是直線x=1，與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0）代入即可得到方程-

b

2× 1 4

=10=

(-3)2

4

-3b+c，解由這兩個(gè)組成的方程組即可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）把x=1代入拋物線解析式即可得到M的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和圖象即可求出M₁、A₁的坐標(biāo)，設(shè)直線AM的表達(dá)式為y=kx+m，把A、M的坐標(biāo)代入即可求出直線AM的解析式，把A₁的坐標(biāo)代入即可得到答案；
（3）存在點(diǎn)P使四邊形PM₁MD的面積最大．連接M₁D，只要S_△M1PD最大，先代入拋物線的解析式求出F的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，

1

4

n²-

1

2

n-

15

4

），設(shè)直線MF的表達(dá)式為y=px+q，把M、F的坐標(biāo)代入即可求出直線MF的解析式，設(shè)直線MF上有一點(diǎn)R（m，-

3

2

m-

5

2

），求出S_△M1PD=-

3

4

（m+2）²+

27

4

的最大值，求出m的值，進(jìn)一步求出Q、P的坐標(biāo)，再求出四邊形PM₁MD的面積即可．

解答：（1）解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），

- b 2× 1 4 =1 0= (-3)2 4 -3b+c.

解得b=-

1

2

，c=-

15

4

．
∴拋物線解析式為y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

，
答：點(diǎn)B的坐標(biāo)是：（5，0），拋物線y=

1

4

x²+bx+c的解析式是y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

．

（2）證明：由題意可得：把x=1代入拋物線解析式y(tǒng)=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

，得：y=-4
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4），
根據(jù)旋轉(zhuǎn)和圖象可得：點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（9，-4），
點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（5，-8），
設(shè)直線AM的表達(dá)式為y=kx+m．
則有

0=-3k+m -4=k+m.

，
解得

k=-1 m=-3.

，
則直線AM的表達(dá)式為y=-x-3．
把x=5代入y=-x-3，得y=-8．
即直線AM經(jīng)過點(diǎn)A₁．
故A，M，A₁三點(diǎn)在同一直線上．

（3）解：存在點(diǎn)P使四邊形PM₁MD的面積最大．連接M₁D，
∵S_△M1MD是定值，
∴要使四邊形PM₁MD的面積最大，只要S_△M1PD最大，
將△M₁PD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M₁與點(diǎn)M重合，
點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合．點(diǎn)Q，F(xiàn)都在拋物線y=

1

4

x²-

1

2

x-

15

4

上，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-5，5），
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，

1

4

n²-

1

2

n-

15

4

），
設(shè)直線MF的表達(dá)式為y=px+q，
則有

p+q=-4 -5p+q=5.

，
解得

p=- 3 2 q=- 5 2 .

，
則直線MF的表達(dá)式為y=-

3

2

x-

5

2

，
設(shè)直線MF上有一點(diǎn)R（m，-

3

2

m-

5

2

），則
S_△M1PD=

1

2

×6×（-

3

2

m-

5

2

-

1

4

m²+

1

2

m+

15

4

），
=-

3

4

m²-3m+

15

4

，
=-

3

4

（m+2）²+

27

4

，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，S_△M1PD最大=

27

4

，
若m=-2時(shí)，

1

4

m²-

1

2

m-

15

4

=-

7

4

，
所以，點(diǎn)Q（-2，-

7

4

），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

27

4

，-7），
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（9，-4），
∴S_△DM1M的面積為

1

2

×6×8=24，四邊形PM₁MD的面積為24+

27

4

=

123

4

，
∴存在點(diǎn)P（

27

4

，-7）使四邊形PM₁MD的面積最大，面積最大值為

123

4

，
答：存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

27

4

，-7），四邊形PM₁MD的面積最大是

123

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查對一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解一元一次方程，旋轉(zhuǎn)，三角形的面積，解二元一次方程組等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目，有一定的難度．